Induksi Matematika
Merupakan pembuktian dengan cara deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.
Perlu ditekankan bahwa induksi matematika hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan atau rumus, bukan untuk menurunkan rumus. Atau lebih tegasnya induksi matematika tidak dapat digunakan untuk menurunkan atau menemukan rumus.
Prinsip Induksi Matematika
Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika
- P(1) benar dan
- untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar
maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Untuk menerapkan prinsip induksi matematika, kita harus melakukan 2 langkah:
- Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
- Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)
Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.
Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
Langkah-Langkah Pembuktian Induksi Matematika
Dari uraian-uraian diatas, langkah-langkah pembuktian induksi matematika dapat kita urutkan sebagai berikut :
- Langkah dasar: Tunjukkan P(1) benar.
- Langkah induksi: Asumsikan P(k) benar untuk sebarang k bilangan asli, kemudian tunjukkan P(k+ 1) juga benar berdasarkan asumsi tersebut.
- Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.
Pembuktian Deret
Sebelum masuk pada pembuktian deret, ada beberapa hal yang perlu dipahami dengan baik menyangkut deret.
Jika P(n) : u1 + u2 + u3 + … + un = Sn , maka
P(1) : u1 = S1
P(k) : u1 + u2 + u3 + … + uk = Sk
P(k + 1) : u1 + u2 + u3 + … + uk + uk+1 = Sk+1
Pembuktian Keterbagian
Pernyataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan :
- a kelipatan b
- b faktor dari a
- b membagi a
Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.
Pembuktian Pertidaksamaan
Berikut sifat-sifat pertidaksamaan yang sering digunakan:
1. Sifat transitif
a > b > c ⇒ a > c atau
a < b < c ⇒ a < c
2. a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau
a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc
3. a < b ⇒ a + c < b + c atau
a > b ⇒ a + c > b + c
Mari kita coba untuk latihan menggunakan sifat-sifat diatas untuk menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar”.
Misalkan
P(k) : 4k < 2k
P(k + 1) : 4(k + 1) < 2k+1
Jika diasumsikan P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan P(k + 1) juga benar !
Ingat bahwa target kita adalah menunjukkan
4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k (TARGET)
Kita dapat mulai dari ruas kiri pertaksamaan diatas
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2k + 4 (karena 4k < 2k)
4(k + 1) < 2k + 2k (karena 4 < 4k < 2k)
4(k + 1) = 2(2k)
4(k + 1) = 2k+1
Berdasarkan sifat transitif kita simpulkan
4(k + 1) < 2k+1
Mengapa 4k dapat berubah menjadi 2k ?
Berdasarkan sifat 3, kita diperbolehkan menambahkan kedua ruas suatu pertaksamaan dengan bilangan yang sama, karena tidak akan merubah nilai kebenaran pertaksamaan tersebut. Karena 4k < 2k benar, akibatnya 4k + 4 < 2k + 4 juga benar.
Darimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2k ?
Perhatikan target. Hasil sementara kita adalah 2k + 4 sedangkan target kita adalah 2k + 2k.
Untuk k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2k adalah benar, sehingga 4 < 2k juga benar (sifat transitif). Akibatnya 2k + 4 < 2k + 2k benar (sifat 3).
Induksi matematika terbagi 2 yaitu umum dan kuat
Matematika induksi umum
Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).
-
A. Bilangan (termasuk jumlah deret)
- Buktikan bahwa
untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal
kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
, harap ingat bahwa
(terbukti benar)
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2 karena memenuhi kedua langkah pembuktian
- Buktikan bahwa
untuk setiap bilangan bulat positif adalah n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal
kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
(terbukti benar)
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk setiap bilangan bulat positif adalah n karena memenuhi kedua langkah pembuktian.
- Buktikan bahwa
untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal
(karena 4 < 4k)
kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
, ingat bahwa
(terbukti benar)
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5 karena memenuhi kedua langkah pembuktian.
-
C. Faktor (termasuk kali atau bagi)
- Buktikan bahwa salah satu faktor dari
adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari
karena 3 adalah faktor dari dan 3 juga merupakan faktor
, maka 3 adalah faktor dari
. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 adalah faktor
untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian
- Buktikan bahwa 3 adalah faktor
untuk semua bilangan bulat positif n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari
karena 3 adalah faktor dari dan 3 juga merupakan faktor
, maka 3 adalah faktor dari
. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk 3 adalah faktor
untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian
- Buktikan bahwa
habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang tunjukkan bahwa habis dibagi 4
karena dan
habis dibagi 4, maka
habis dibagi 4. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk
habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian
-
D. Faktorisasi
- Buktikan bahwa x – y adalah faktor
untuk semua bilangan bulat positif n!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang tunjukkan bahwa x – y adalah faktor dari
karena x – y adalah faktor dari dan x – y juga merupakan faktor
, maka x – y adalah faktor dari
. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan 2.
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk x – y adalah faktor
untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian
- E. Barisan
Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika!
Persamaan yang perlu dibuktikan:
Langkah pembuktian pertama:
untuk beberapa penjumlahan dari pertama, benar bahwa
Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk , yaitu
, maka akan dibuktikan benar pula untuk
, yaitu
sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa sesuai dengan pengandaian awal
kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
(terbukti benar)
Kesimpulan:
Jadi, benar untuk hipotesis induksi matematika karena memenuhi kedua langkah pembuktian.
Matematika induksi kuat
Misalkan S(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,
S(a), S(a + 1), …, dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi)
Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), …, S(k) semuanya bernilai benar.)
- A. Bilangan (termasuk jumlah deret)
B. Barisan
C. Teori
Contoh soal induksi matematika, pembahasan dan jawaban
1. Buktikan bahwa ![2+4+6+8+10+12+14+...+2n=n^{2}+n 2+4+6+8+10+12+14+...+2n=n^{2}+n](https://s0.wp.com/latex.php?zoom=1.25&latex=2%2B4%2B6%2B8%2B10%2B12%2B14%2B...%2B2n%3Dn%5E%7B2%7D%2Bn&bg=ffffff&fg=000&s=0)
Bukti:
Pertama, kita harus buktikan nilai tersebut untuk n = 1. Untuk n = 1, nilai fungsi tersebut adalah (benar). Mengerti kan kenapa saya bilang benar?. ‘Benar’ maksudnya bahwa jika deret bilangan tersebut dijumlah sampai satu suku saja maka penjumlahannya akan bernilai 2 (dua). Kemudian kita cocokkan dengan rumus yang disebelah kanan yaitu
, ternyata memberikan hasil yang sama yaitu 2 (dua). Itulah maksud kata ‘benar’ itu gess !.
Kedua, kita buktikan untuk n = k. sehingga deret penjumlahan di atas menjadi :
Untuk n = k ini kita asumsikan bernilai benar.
Ketiga, kita buktikan untuk n = k + 1
ingat :
Kemudian kita tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Yang menjadi acuan atau patokan adalah rumus yang disebelah kanan. Berarti yang disebelah kiri kita upayakan sama dengan ruas kanan. Sehingga :
Agar ruas kiri berbentuk kuadrat seperti di ruas kanan, maka persamaan di ruas kiri kita atur. Kita tahu bahwa :
sehingga :
Sampai disini terlihat ruas kiri sama dengan ruas kanan dan bentuk rumusnya bersesuain saat kita memasukkan n = k.
Karena ketiga rumus penjumlahan di atas benar untuk ketiga langkah, maka dapat disimpulkan bahwa penjumlahan
terbukti benar.
2. Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.
Jawab :
P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Dari asumsi:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, P(k + 1) benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
3. Buktikan bahwa: ![31+39+47+55+...+(8n+23)=4n^{2}+27n 31+39+47+55+...+(8n+23)=4n^{2}+27n](https://s0.wp.com/latex.php?zoom=1.25&latex=31%2B39%2B47%2B55%2B...%2B%288n%2B23%29%3D4n%5E%7B2%7D%2B27n&bg=ffffff&fg=000&s=0)
Bukti:
Pertama, untuk n = 1
Nilai penjumlahan deret tersebut adalah
(Benar)
Kedua, untuk n = k
Ketiga , untuk n = k + 1
Bagian terakhir terlihat bahwa ruas kiri dan kanan sama.
Karena langkah pertama, kedua, dan ketiga terpenuhi maka rumus tersebut terbukti.
4. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 benar, untuk setiap n bilangan asli
P(n) : 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2
Akan ditunjukkan P(n) benar untuk setiap n ∈ N
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(1) benar
1 = 12
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2, k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Dari asumsi:
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2(k + 1) − 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
5. Buktikan 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.
Jawab :
P(n) : 6n + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(1) benar
61 + 4 = 10 habis dibagi 5
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
6k + 4 habis dibagi 5, k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
6k+1 + 4 habis dibagi 5.
6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4
6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4
Karena 5(6k) habis dibagi 5 dan 6k + 4 habis dibagi 5, akibatnya 5(6k) + 6k + 4 juga habis dibagi 5.
Jadi, P(k + 1) benar.
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.
Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Sebagai contoh, “10 habis dibagi 5” benar karena terdapat bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat kita tulis menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”.
6. Buktikan n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli
Jawab:
P(n) : n3 + 2n = 3m, dengan m ∈ ZZ
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(1) benar
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3m + 3(k2 + k + 1)
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3(m + k2 + k + 1)
Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k2 + k + 1), maka
(k + 1)3 + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ ZZ
Jadi, P(k + 1) benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa n3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.
7. Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku
3n < 2n
Jawab :
P(n) : 3n < 2n
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(4) benar
3.4 = 12 < 24 = 16
Jadi, P(4) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
3k < 2k, k ≥ 4
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
3(k + 1) < 2k+1
3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2k + 3 (karena 3k < 2k)
3(k + 1) < 2k + 2k (karena 3 < 3k < 2k)
3(k + 1) = 2(2k)
3(k + 1) = 2k+1
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.
8. Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 5 berlaku
2n − 3 < 2n-2
Jawab :
P(n) : 2n − 3 < 2n-2
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 5, n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(5) benar
2.5 − 3 = 7 < 25-2 = 8
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
2k − 3 < 2k-2 , k ≥ 5
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2(k + 1) − 3 < 2k+1-2
2(k + 1) − 3 = 2k + 2 − 3
2(k + 1) − 3 = 2k − 3 + 2
2(k + 1) − 3 < 2k-2 + 2 (karena 2k − 3 < 2k-2)
2(k + 1) − 3 < 2k-2 + 2k-2 (karena 2 < 2k − 3 < 2k-2)
2(k + 1) − 3 = 2(2k-2)
2(k + 1) − 3 = 2k+1-2
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 5.
9. Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku
3n > 1 + 2n
Jawab :
P(n) : 3n > 1 + 2n
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 2, n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(2) benar
32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
3k > 1 + 2k, k ≥ 2
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
3k+1 > 1 + 2(k + 1)
3k+1 = 3(3k)
3k+1 > 3(1 + 2k) (karena 3k > 1 + 2k)
3k+1 = 3 + 6k
3k+1 > 3 + 2k (karena 6k > 2k)
3k+1 = 1 + 2k + 2
3k+1 = 1 + 2(k + 1)
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 2.
10. Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku
(n + 1)! > 3n
Jawab :
P(n) : (n + 1)! > 3n
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN
Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(4) benar
(4 + 1)! > 34
ruas kiri : 5! = 5.4.3.2.1 = 120
ruas kanan : 34 = 81
Jadi, P(1) benar
Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
(k + 1)! > 3k , k ≥ 4
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1 + 1)! > 3k+1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2)(k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2)(3k) (karena (k + 1)! > 3k)
(k + 1 + 1)! > 3(3k) (karena k + 2 > 3)
(k + 1 + 1)! = 3k+1
Jadi, P(k + 1) juga benar
Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.
11. Menjumlahkan angka berpangkat dalam induksi matematika. Buktikan bahwa: 13 + 23 + 33 + … + n3 = ¼n2(n + 1)2
1. Tunjukkan kebenarannya untuk n=1
13 = ¼ × 12 × 22 Benar.
2. Asumsikan benar untuk n=k
13 + 23 + 33 + … + k3 = ¼k2(k + 1)2 Benar (Asumsi!)
Jawaban:
Sekarang, buktikan kebenarannya untuk “k+1”
13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = ¼(k + 1)2(k + 2)2 ?
Kita tahu bahwa 13 + 23 + 33 + … + k3 = ¼k2(k + 1)2 (asumsi di atas), jadi kita dapat mengganti semua kecuali suku terakhir:
¼k2(k + 1)2 + (k + 1)3 = ¼(k + 1)2(k + 2)2
Kalikan semua suku dengan 4:
k2(k + 1)2 + 4(k + 1)3 = (k + 1)2(k + 2)2
Semua suku memiliki faktor persekutuan (k + 1)2, sehingga dapat dibatalkan:
k2 + 4(k + 1) = (k + 2)2
Dan sederhanakan:
k2 + 4k + 4 = k2 + 4k + 4
Mereka sama! Jadi memang benar.
Jadi:
13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = ¼(k + 1)2(k + 2)2 Benar.
12. Menjumlahkan angka ganjil untuk induksi matematika.
1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n2
1. Tunjukkan kebenarannya untuk n=1
1 = 12 Benar.
2. Asumsikan benar untuk n=k
1 + 3 + 5 + … + (2k−1) = k2 Benar
(Sebuah anggapan!)
Sekarang, buktikan kebenarannya untuk “k+1”
1 + 3 + 5 + … + (2k−1) + (2(k+1)−1) = (k+1)2 ?
Kita tahu bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2k−1) = k2 (asumsi di atas), jadi kita dapat melakukan penggantian untuk semua kecuali suku terakhir:
k2 + (2(k+1)−1) = (k+1)2
Sekarang jelaskan sebagai berikut:
k2 + 2k + 2 − 1 = k2 + 2k+1
Dan sederhanakan:
k2 + 2k + 1 = k2 + 2k + 1
They are the same! So it is true.
Jadi:
1 + 3 + 5 + … + (2(k+1)−1) = (k+1)2 Benar.
13. Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2.
Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 12 = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilagan ganjil yang positif pertama ialah 1.
Terapkan induksi dengan mengandaikan p(n) benar, sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1 ) = n2
Selanjutnya, perlihatkan bahwa p (n+1) juga benar yakni 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut.
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)
= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2.
14. Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2.
P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2. Maka akan mampu menujukkan P(n) benar untuk tiap-tiap n N.
Langkah Pertama
Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda. Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Langkah awal akan menunjukkan bahwa p(1) adalah benar 1 = 12. Jadi, p(1) adalah benar.
Langkah Induksi
Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika P(k) adalah benar, yaitu:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2, k N
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + 2(k + 1) – 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k2 + (2(k + 1) – 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k2 + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2
Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa p(n) adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli.
15. Buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.
Sama seperti contoh soal induksi matematika dan jawabannya yang lalu, pada soal ini Anda juga perlu membuat langkah awal dan induksi.
Langkah Awal
Langkah ini akan menunjukkan jika p(1) adalah benar. 61 + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p(1) adalah benar.
Langkah Induksi
Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja p(k) adalah benar, maka 6k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan p(k + 1) adalah juga benar yaitu 6k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5.
6k+1 + 4 = 6(6k) + 4
6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4
Jika 5(6k) telah habis dibagi 5 dan 6k + 4 juga habis dibagi 5, maka 5(6k) + 6k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, p(k + 1) adalah benar.
16. Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2).
Persis seperti cara sebelumnya, sebaiknya Anda buat langkah basic dan induksi.
Langkah Awal
n = 1
12 = 1/6 1 (1 + 1) (1 + 2)
1 = 1 adalah benar terbukti.
Langkah Induksi
n = k
1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2) juga adalah benar.
Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2). Tentu ini menjadi soal paling sederhana, diantara soal-soal lainnya.
17. Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5.
Supaya bisa membuktikannya, lakukang langkah berikut:
Langkah Pertama
32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.
Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)
32k + 22k + 2
Langkah Ketiga ( = k + 1)
= 32(k+1) + 22(2k+2)
= 32k+2 + 22k+2+2
= 32(32k) + 22(22k+2)
= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2
= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)
Diperoleh:
10 (32k) sudah habis dibagi 5, 5(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5.
Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.
Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1
Jika p(n) benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi).
= (2n+1 + 2n+1) –
= (2.2n+1) – 1
= 2n+2 – 1
= 2(n+1)+1 – 1
Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.
Tentang Matematika
- Tes Matematika Deret Angka Untuk Yang Pintar – Tomat, Timun Dan Paprika
- Tes Matematika “Otak Atik Otak” Jumlah nomor yang harus didapatkan: 50 & Nomor yang diberikan: 2 8 9 15 20 40
- Tes Matematika Pengukuran Berat: Sebuah botol & tutupnya berberat 110g. Berat botol 100g lebih berat daripada tutupnya. Berapa berat tutupnya?
- Matematika Jika 2=6, 3=15, 4=24, 5=35, 6=48 Jadi 7=??
- Tes Matematika Pemecahan Masalah Logika Visual Psikotes Roda Gigi X – Beserta Rumus, Soal & Jawaban Untuk Menghitung Panjang Lintasan Roda
- Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya
- Soal Rumus Kimia Hidrat (Air Kristal) Dan Jawabannya
- Rumus-Rumus Lingkaran “Volume” Tes Matematika Lingkaran
Bacaan Lainnya
- Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
- 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Mudah Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
- Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
- Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
- Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
- Sistem Reproduksi Manusia, Hewan dan Tumbuhan
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!
Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!
Sumber: The Math Page, Purple Math, Oxford Math Center, Encyclopedia of Mathematics
Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing
Alhamdulillah sangat bermanfaat