Teorema Dasar Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Bagian pertama dari teorema ini, kadanng disebut sebagai telurma dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan.

Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengizinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan (integral tak tentu). Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.

Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari versi terbatas teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow, Isaac Newton (1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646–1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.

Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.

Contoh Soal Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan kita perlu menghitung

Di sini, $f(x)=x^{2}$ dan kita dapat menggunakan $F(x)={x^{3} \over 3}$ sebagai antiturunan. Sehingga:

\int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={125 \over 3}-{8 \over 3}={117 \over 3}=39.

Atau lebih umumnya, misalkan kita perlu menghitung

{d \over dx}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt.

Di sini, $f(t)=t^{3}$ dan kita dapat menggunakan $F(t)={t^{4} \over 4}$ sebagai antiturunan. Sehingga:

{d \over dx}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={d \over dx}F(x)-{d \over dx}F(0)={d \over dx}{x^{4} \over 4}=x^{3}.

Namun hasil ini akan lebih mudah didapatkan apabila menggunakan:

{d \over dx}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x){dx \over dx}-f(0){d0 \over dx}=x^{3}.

Pembuktian bagian pertama Teorema Dasar Kalkulus

Andaikan

F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,.

Misalkan terdapat dua bilangan x₁ dan x₁ + Δx pada [a, b]. Sehingga didapatkan

F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt

dan

F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt\,.

Pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan

F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt.\qquad (1)

Bisa ditunjukan bahwa

\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.

(Jumlah dari luas wilayah yang bersampingan sama dengan jumlah kedua wilayah yang digabungkan.)

Dengan memanipulasi persamaan ini, kita dapatkan

\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.

Substitusikan persamaan di atas ke (1), sehingga

F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.\qquad (2)

Menurut teorema nilai antara untuk pengintegralan, terdapat sebuah c pada [x₁, x₁ + Δx] sehingga

\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\Delta x\,.

Substitusikan persamaan di atas ke (2), kita dapatkan

F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x\,.

Bagi kedua sisi dengan Δx, menghasilkan

{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).

Perhatikan pula ekspresi pada sisi kiri persamaannya adalah hasil bagi beda Newton untuk F pada x₁.

Dengan mengambil limit Δx → 0 pada kedua sisi persamaan:

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).

Ekspresi pada sisi kiri persamaan adalah definisi turunan dari F pada x₁.

F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).\qquad (3)

Untuk mencari limit lainnya, kita gunakan teorema apit. c ada pada interval [x₁, x₁ + Δx], sehingga x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

Juga, $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}$ dan $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}\,.$

Sehingga menurut teori apit,

\lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}\,.

Substitusikan ke (3), kita dapatkan

F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c)\,.

Fungsi f kontinu pada c, sehingga limit dapat diambil di dalam fungsi. Oleh karena itu, kita dapatkan

F'(x_{1})=f(x_{1})\,.

yang menyelesaikan pembuktian

(Leithold dkk., 1996)

Pembuktian bagian kedua Teorema Dasar Kalkulus

Ini adalah pembuktian limit menggunakan penjumlahan Riemann.

Misalnya f kontinu pada interval [a, b], dan F adalah antiturunan dari f. Dimulai dengan kuantitas

F(b)-F(a)\,.

Misalkan pula terdapat bilangan-bilangan

x₁, …, x_n

sehingga

Maka

F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})\,.

Sekarang kita tambahkan setiap F(x_i) bersamaan dengan balikan aditif (inverse additive), sehingga kuantitas yang dihasilkan adalah sama:

{\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,.\end{matrix}}

Kuantitas di atas dapat ditulis sebagai penjumalhan berikut:

F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\,.\qquad (1)

Kemudan kita akan menggunakan teorema nilai purata. Dinyatakan dengan singkat,

Misalkan F kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensialkan pada interval terbuka (a, b). Maka terdapat c pada (a, b) yang

F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}\,.

Sehingga

F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).\,

Fungsi F terdiferensialkan pada interval [a, b]; sehingga ia juga terdiferensialkan dan kontinu pada setiap interval x_i-1. Oleh karena itu, menurut teorema nilai purata,

F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,.

Substitusikan persamaan di atas ke (1), kita dapatkan

F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]\,.

Asumsi ini mengimplikasikan $F'(c_{i})=f(c_{i}).$ Juga, $x_{i}-x_{i-1}$ dapat diekspresikan sebagai $\Delta x$ dari partisi $i$ .

F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.\qquad (2)

Deret yang konvergen dari penjumlahan Riemann. Angka pada kanan atas adalah luas dari persegi panjang abu-abu. Ia konvergen ke intergal fungsi tersebut.

Perhatikan bahwa kita sedang menjelaskan luas persegi panjang, dengan lebar kali tinggi, dan kita menggabungkan total semua luas persegi panjang tersebut. Setiap persegi panjang, dengan teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata, merupakan pendekatan dari bagian kurva yang digambar. Juga perhatikan bahwa $\Delta x_{i}$ tidak perlulah sama untuk setiap nilai $i$ , atau dengan kata lain lebar persegi panjang dapat berbeda-beda. Apa yang perlu kita lakukan adalah mendekatkan kurva tersebut dengan $n$ persegi panjang. Semakin kecil partisi ini dan semakin besar n, maka kita akan mendapatkan luas wilayah kurva yang semakin mendekati nilai sebenarnya.

Dengan mengambil limit ekspresi norma partisi mendekati nol, kita mendapatkan integral Riemann. Yakni, kita mengambil limit partisi yang terbesar mendekati nol dalam hal ukuran, sehingga partisi-partisi lainnya lebih kecil dan jumlah partisi mendekati tak terhingga.

Maka kita mengambil limit pada kedua sisi (2). Kita dapatkan

\lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.

Baik F(b) maupuan F(a) tidak bergantung pada ||Δ||, sehingga limit pada bagian sisi kiri tetaplah F(b) – F(a).

F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,.

Ekspresi pada sisi kanan persamaan merupakan definisi dari integral terhadap f dari a ke b. Sehingga kita dapatkan:

F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,

yang menyelesaikan pembuktian.

Perampatan

Kita tidak perlu mengasumsikan kekontinuan f pada keseluruhan interval. Bagian I dari teorema menyatakan: Jika f adalah setiap fungsi terintegral Lebesgue pada [a, b] dan x₀ adalah bilangan pada [a, b] sehingga f kontinu pada x₀, maka

F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt

terdiferensialkan untuk x = x₀ dengan F’(x₀) = f(x₀). Kita dapat melonggarkan kondisi f lebih jauh dan andaikan bahwa ia hanyalah terintegralkan secara lokal/setempat. Pada kasus ini, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi F terdiferensialkan hampir di mana-mana dan F’(x) = f(x) hampir di mana-mana. Ini kadang-kadang dikenal sebagai Teorema pendiferensialan Lebesgue.

Bagian II dari teorema adalah benar untuk setiap fungsi terintegral (integrable fungction) Lebesgue f yang mempunyai sebuah antiturunan F (tidak semua fungsi terintegral mempunyainya).

Versi teorema Taylor yang mengekspresikan suku galat (error term) sebagai sebuah integral dapat dilihat sebagai sebuah perampatan (generalization) dari teorema dasar.

Terdapat sebuah versi teorema untuk fungsi kompleks: andaikan U adalah himpunan terbuka pada C dan f: U → C adalah fungsi yang mempunyai sebuah antiturunan holomorfik F pada U. Maka untuk setiap kurva γ: [a, b] → U, integral kurva dapat dihitung sebagai

\int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))\,.

Teorema dasar dapat dirampatkan ke integral kurva dan permukaan pada dimensi yang lebih tinggi dan pada manifold.

Salah satu pernyataan yang paling kuasa (powerful) adalah teorema Stokes: Diberikan M sebagai manifold mulus sesepenggaldimensin berorientasi dan $\omega$ adalah sebuah bentuk n−1, yakni bentuk diferensial yang disangga secara kompak pada M kelas C¹. Jika ∂M menandakan sempadanM dengan orientasi terinduksinya, maka

\int _{M}\mathrm {d} \omega =\oint _{\partial M}\omega \,.

Di sini $\mathrm {d} \!\,$ adalah turunan luar yang hanya terdefinisikan menggunakan struktur manifold.

Teorema ini seringkali digunakan dalam situasi ketika M adalah submanifold berorientasi terbenam (embedded oriented submanifold) dari manifold yang lebih besar di mana bentuk omega $\omega$ didefinisikan.

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Teorema Dasar Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Intuisi Teorema Dasar Kalkulus

Dengan menata ulang persamaan ini, terlihat bahwa:

2 Bagian Teorema Dasar Kalkulus

Bagian pertama Teorema Dasar Kalkulus

Bagian kedua Teorema Dasar Kalkulus

Korolari