Tabel Kebenaran

Dalam logika matematika, tabel kebenaran adalah tabel dalam matematika yang digunakan untuk melihat nilai kebenaran dari suatu premis/pernyataan. Jika hasil akhir adalah benar semua (dilambangkan B, T, atau 1), maka disebut tautologi (logika). Sedangkan jika salah semua (S, F, atau 0) disebut kontradiksi. Premis yang hasil akhirnya gabungan benar dan salah disebut kontingensi.

Operasi Binary

Tabel Kebenaran untuk semua logikal operasi binary

P	Q	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	T	F	F	F	F	F	F	F	F	T	T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	F	F	T	T	T	T	F	F	F	F	T	T	T	T
F	T	F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T
F	F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T

dimana T = benar and F = salah.

Kunci Tabel Kebenaran

					Nama Operasi
0	Opq	xand	⊥	salah	Kontradiksi
1	Xpq	NOR	↓		Logika NOR
2	Mpq	Xq	↚		Nonimplikasi berlawanan
3	Fpq	Np	¬p	tidak p	Negasi
4	Lpq	Xp	↛		Nonimplikasi
5	Gpq	Nq	¬q	tidak q	Negasi
6	Jpq	XOR	⊕	tidak kedua-duanya	Disjungsi eksklusif
7	Dpq	NAND	↑		Logika NAND
8	Kpq	AND	∧	dan	Konjungsi
9	Epq	XNOR		Jika dan hanya jika	Bikondisional
10	Hpq	q			Fungsi proyeksi
11	Cpq	XNp	→	jika p maka q	Implikasi
12	Ipq	p			Fungsi proyeksi
13	Bpq	XNq	←	maka p jika q	Implikasi berlawanan
14	Apq	OR	∨	atau	Disjungsi inklusif
15	Vpq	xnand	⊤	benar	Tautologi

Operator logikal juga bisa divisualisasikan menggunakan diagram Venn.

Operasi Yang Dignakan Pada Tabel Kebenaran

Operasi yang digunakan adalah

Negasi

Dalam logika matematika, negasi, atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan, baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan.

p	~p
B	S
S	B

Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah. Sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

Bentuk ~p biasa dibaca “bukan p“, “tidak p“, “tidak benar bahwa p“, dsb.

Tabel kebenaran untuk TIDAK p (juga ditulis ¬p, Np, Fpq, or ~p) adalah di bawah ini:

**Logika negasi**
p	$\negp$
B	S
S	B

Konjungsi

Tabel kebenaran untuk p DAN q (juga ditulis p ∧ q, Kpq, p & q, atau p $\cdot$ q) adalah di bawah ini:

**Logika konjungsi**
p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Disjungsi inklusif (sering disebut sebagai disjungsi saja)

Tabel kebenaran untuk p ATAU q (juga ditulis p ∨ q, Apq, p || q, or p + q) adalah di bawah ini:

**Logika Disjungsi**
p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Implikasi

Tabel kebenaran untuk XN p (juga ditulis p → q, Cpq, p ⇒ q) adalah di bawah ini:

**Logika kesamaan**
p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Kesamaan atau Bikondisional (sering disebut sebagai biimplikasi saja)

Tabel kebenaran untuk p XNOR q (juga ditulis p ↔ q, Epq, p = q, or p ≡ q) adalah di bawah ini:

**Logika kesamaan**
p	q	p ≡ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Disjungsi eksklusif

Tabel kebenaran untuk p XOR q (juga ditulis p ⊕ q, Jpq, or p ≠ q) adalah di bawah ini:

**Disjungsi eksklusif**
p	q	p ⊕ q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Jumlah kemungkinan hasil adalah $2^{n}$ , dimana n adalah jumlah pernyataan dasar yang ada (p, q, r, dsb). Namun, p dan ~p (negasi p) tidak dihitung sebagai pernyataan yang berbeda.

Contoh Soal dan Jawaban Tabel Kebenaran Operasi Biner

1. Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar.
1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit.

Penjelasan dan jawaban:

Kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” terdiri atas kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 dan pernyataan q: 10 adalah bilangan komposit. Pernyataan q bernilai benar. Agar kalimat tersebut menjadi disjungsi yang benar, maka kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 harus diubah menjadi pernyataan yang benar (perhatikan tabel nilai kebenaran konjungsi pada baris pertama).

Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 menjadi pernyataan yang benar adalah penyelesaian dari kalimat itu, yaitu sebagai berikut.

⇒ 1 – x = 2x – 5

⇒ 2x + x = 1 + 5

⇒ 3x = 6

⇒ x = 2

Jadi, kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” menjadi konjungsi yang benar untuk nilai x = 2.

2. Buatlah Tabel Kebenaran Dari : (p ˅ ¬q) → (p ˄ q)

Penjelasan dan jawaban:

Langkah Pertama

Buat Kolom p dan q terlebih dahulu, dengan ketentuan karena disini hanya ada p dan q.
Maka dapat dikatakan 2 pangkat 2 = 4. jadi buat 4 baris dari kolom p dan q.

Tabel: p dan q

p	q
T	T
T	F
F	T
F	F

Langkah Kedua:

Setelah membuat kolom p dan q, sekarang langkah kedua adalah menambahkan kolom ¬q untuk melanjutkan ke langkah selanjutnya.
¬q adalah kebalikan dari q.
Jika q adalah T ( true ), maka ¬q adalah F ( false ), begitu pula sebaliknya.

Tabel: Setelah menambahkan kolom ¬q

p	q	¬q
T	T	F
T	F	T
F	T	F
F	F	T

Langkah Ketiga

Setelah membuat kolom ¬q, maka langkah selanjutnya adalah menambahkan kolom p ˅ ¬q atau dengan sebutan p atau negasi q.
Untuk menyelesaikannya, yang digunakan ialah kolom p dan kolom ¬q
Dengan ketentuan p ˅ ¬q bernilai F ( false ) jika p dan ¬q bernilai F ( false )

Tabel: Setelah menambahkan Kolom p ˅ ¬q

p	q	¬q	p ˅ ¬q
T	T	F	T
T	F	T	T
F	T	F	F
F	F	T	T

Langkah Keempat

Setelah menyelesaikan sampai langkah ketiga, sekarang tinggal menambahkan kolom p ˄ q.
Untuk menambahkan kolom p ˄ q, hanya perlu membandingkan dari kolom p dan kolom q, sehingga hasilnya akan seperti tabel dibawah ini.
Dengan keterangan, p ˄ q bernilai T ( true ) jika p dan q bernilai T ( true ).

Table: Setelah menambahkan kolom p ˄ q

p	q	¬q	p ˅ ¬q	p ˄ q
T	T	F	T	T
T	F	T	T	F
F	T	F	F	F
F	F	T	T	F

Langkah Kelima

Ini adalah langkah terakhir untuk membuat kolom dari (p ˅ ¬q) → (p ˄ q).
Untuk membuat Kolom dari (p ˅ ¬q) → (p ˄ q), yang perlu digunakan ialah kolom (p ˅ ¬q) dan kolom (p ˄ q) yang telah dibuat pada langkah ketika dan keempat.
Dengan keterangan (p ˅ ¬q) → (p ˄ q) bernilai F ( false ) jika (p ˅ ¬q) bernilai T ( true ) dan (p ˄ q) bernilai F ( false ).

Table: Setelah Menambahkan Kolom (p ˅ ¬q) → (p ˄ q) dan merupakan hasil akhir dari tabel kebenaran.

p	q	¬q	p v ¬q	p ˄ q	( p v ¬q ) → ( p ˄ q )
T	T	F	T	T	T
T	F	T	T	F	F
F	T	F	F	F	T
F	F	T	T	F	F

3. Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut ini.
a) 4 + 2 = 6 dan ibukota Jawa Timur adalah Surabaya.
b) -4 adalah bilangan bulat dan 4 adalah bilangan prima.

Penjelasan dan jawaban:

a) Misalkan p: 4 + 2 = 6 dan q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya, maka:

● p: 4 + 2 = 6 bernilai benar (B)

● q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya bernilai benar (B)

karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.

b) Misalkan p: -4 adalah bilangan bulat dan q: 4 adalah bilangan prima, maka:

● p: -4 adalah bilangan bulat bernilai benar (B)

● q: 4 adalah bilangan prima bernilai salah (S)

Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ∧ q salah.

Konjungsi pada Contoh Soal 1a), jelas bahwa pernyataan “4 + 2 = 6” dengan pernyataan “ibukota Jawa Timur adalah Surabaya” tidak memilki hubungan arti. Dengan demikian, konjungsi itu tidak mempunyai arti. Dalam logika matematika yang dipentingkan bukan arti dari sebuah pernyataan, tetapi nilai kebenarannya.

Dalam bahasa sehari-hari, kata perangkai “dan” dapat diganti dengan kata perangkai “tetapi” atau “walaupun” atau “meskipun”.

Dalam beberapa hal, seringkali dijumpai kalimat yang berbentuk “p(x) ∧ q” dengan p(x) merupakan suatu kalimat terbuka dan q merupakan suatu pernyataan. Kalimat “p(x) ∧ q” dapat diubah menjadi konjungsi yang benar/salah dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x). Agar lebih jelas, perhatikan contoh soal berikut.

4. Misalkan p adalah pernyataan yang bernilai salah dan q adalah pernyataan yang bernilai benar, tentukan nilai kebenaran dari tiap pernyataan berikut.
a) ~p
b) ~q
c) p ∧ q
d) ~p ∧ q
e) p ∧ ~q
f) ~p ∧ ~q

Penjelasan dan jawaban:

Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.

p	q	~p	~q	p ∧ q	~p ∧ q	p ∧ ~q	~p ∧ ~q
S	B	B	S	S	B	S	S

5. Tentukan nilai kebenaran setiap konjungsi berikut ini.
a) 2log 8 = 3 dan 23 = 8
b) setiap bentuk akar adalah bilangan irasional dan √4 = ± 2
c) setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional dan √9 = 3
d) x2 – 1 = 0 mempunyai akar real dan x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real.

Penjelasan dan jawaban:

a) Misalkan p: 2log 8 = 3 dan q: 23 = 8, maka

● p: 2log 8 = 3 bernilai benar (B)

● q: 23 = 8 bernilai benar (B)

Karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.

b) Misalkan p: setiap bentuk akar adalah bilangan irasional dan q: √4 = ± 2, maka:

● p: setiap bentuk akar adalah bilangan irasional bernilai benar (B)

● q: √4 = ± 2 bernilai benar (B)

karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.

c) Misalkan p: setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional dan q: √9 = 3, maka:

● p: setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional bernilai salah (S)

● q: √9 = 3 bernilai benar (B)

karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ∧ q salah.

d) Misalkan p: x2 – 1 = 0 mempunyai akar real dan q: x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real, maka:

● p: x2 – 1 = 0 mempunyai akar real bernilai benar (B)

● q: x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real bernilai benar (B)

karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.

6. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut.
p: √5 + √20 = 3√5 dan q: √5 adalah bilangan rasional
Tulislah pernyataan dari setiap rumus simbolis berikut ini.
a) ~p
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) q ∧ ~p
e) ~q ∧ p
f) ~q ∧ ~p

Penjelasan dan jawaban:

a) pernyataan dari ~p adalah sebagai berikut.

~p: tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5.

b) pernyataan dari p ∧ ~q adalah sebagai berikut.

√5 + √20 = 3√5 dan √5 bukan bilangan rasional.

c) pernyataan dari ~p ∧ q adalah sebagai berikut.

Tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5 dan √5 adalah bilangan rasional.

d) pernyataan dari q ∧ ~p adalah sebagai berikut.

√5 adalah bilangan rasional dan tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5.

e) pernyataan ~q ∧ p adalah sebagai berikut.

√5 bukan bilangan rasional dan √5 + √20 = 3√5.

7. Penarikan kesimpulan

Penarikan kesimpulan merupakan materi terakhir dalam logika matematika. Kesimpulan bisa ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melakukan penarikan kesimpulan.

Modus ponens

Rumus Modus ponens adalah sebagai berikut:

premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya jika diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya adalah q.

Contoh:

Premis 1: Jika musim semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba

Kesimpulan: Bunga mekar.

Modus Tollens

Rumus Modul Tollens:

Premis 1: p→q
Premis 2: ~q

Kesimpulan: ~p

Contoh:

Premis 1: Jika musim dingin tiba, maka danau akan membeku.

Premis 2: Danau tidak membeku

Kesimpulan: Tidak sedang musim dingin.

Silogisme

Rumus silogisme:

Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r

Contoh Soal Silogisme:

Premis 1: Jika musim panas tiba, hutan akan kekeringan.
Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.

Kesimpulan: Jika musim panas tiba, maka pepohonan akan mati.

8. Pernyataan tertutup
60 + 40 = 100 (benar) ; 200:4 = 60 (salah).

Kedua pernyataan diatas dapat dipastikan kebenaran dan kesalahannya.

Penyataan terbuka
Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).

Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif. Pernyataan ini merupakan pernyataan yang bisa benar namun juga salah. Agar lebih memahaminya, simak contoh berikut.

Pernyataan relatif: Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif karena tidak semua orang menyukai musik pop); Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, karena sebagian orang mengatakan dekat karena bisa ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).

Negasi

Pengerian Negasi adalah pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata tidak benar bahwa untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Agar lebih memahaminya, berikut contoh untuk kalimat negasi.

Pernyataan A: Semua sungai mengalir ke samudera.

Negasi atau ingkaran dari pernyataan A diatas adalah tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.

Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol ~.

Konjungsi

Dalam materi logika matematika, hukum konjungsi adalah benar hanya jika kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah jika salah satu pernyataan atau keduanya adalah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan menggunakan tanda ^ yang berarti ” dan “.

Tabel Kebenaran Konjungsi

p	q	P ^ q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
B	S	S	Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
S	B	S	Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
S	S	S	Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah

Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan penjelasan dibawah ini.

Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah

Implikasi

Pengertian konsep implikasi adalah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini merupakan konsep dari implikasi untuk dipahami.

Tabel Kebenaran Implikasi

p	q	p => q	Logika matematika
B	B	B	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
B	S	S	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
S	B	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
S	S	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR

Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar.

Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.

Biimplikasi

Pengertian Biimplikasi adalah pernyataan yang hanya akan menyatakan benar jika kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar jika keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.

Dalam soal logika matematika, untuk menyatakan biimplikasi adalah menggunakan symbol ⇔ yang memiliki arti ”p.. jika dan hanya jika q..”.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p	q	p ó q	Logika matematika
B	B	B	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
B	S	S	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
S	B	S	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
S	S	B	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)

Agar lebih jelas, berikut pembahasanBiimplikasi secara singkatnya:

Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar.

Ekuivalensi pernyataan majemuk

Setelah mengetahui materi dasar mengenai logika matematika, selanjutnya adalah mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Pengertian ekuivalensi pernyataan majemuk adalah dua pernyataan majemuk yang berbeda namun memiliki nilai yang sama atau ekuivalen.

Ekuivalensi biasanya ditampilkan dalam bentuk rumus, contohnya adalah seperti dibawah ini:

~(p^q) = p˅~q
~(p˅q) = p^~q
(p⇒q) = p˅~q.

Konvers, invers, dan kontraposisi

Pengertian konvers, invers dan kontraposisi adalah pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi memiliki ketiga pernyataan tersebut.

Agar lebih mudah dalam pemahamannya, berikut ringkasannya:

Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya adalah q⇒p
Inversnya adalah ~p⇒~q
Sedangkan untuk kontraposisinya adalah ~q⇒~p.

Kuantor pernyataan

Kuantor pernyataan adalah sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum adalah pernyataan yang menggunakan “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang digunakan adalah x.

Contoh: Pernyataan “semua bunga adalah indah”. Maka notasinya adalah (∀x), [ B(x) → I(x) ]

Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus adalah pernyataan yang menggunakan “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang digunakan adalah Ǝx.

Contoh: pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya adalah (Ǝx),Jx.

Ingkaran dari pernyataan kuantor

Sama seperti pernyataan, kuantor adalah memiliki negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini adalah bahwa negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai contoh adalah:

p : semua bunga adalah indah

~p : semua bunga tidaklah indah.

Bacaan Lainnya

Pasang iklan gratis di toko pinter — Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan?
Pasang iklan & promosikan jualan Anda sekarang juga! **100% GRATIS** di: www.TokoPinter.com

Cara daftar pasang iklan gratis — **3 Langkah super mudah:** tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Britannica, Millersville

P	Q	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	T	F	F	F	F	F	F	F	F	T	T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	F	F	T	T	T	T	F	F	F	F	T	T	T	T
F	T	F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T
F	F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T

P	Q	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
T	T	F	F	F	F	F	F	F	F	T	T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	F	F	T	T	T	T	F	F	F	F	T	T	T	T
F	T	F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T	F	F	T	T
F	F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T

Tabel Kebenaran Operasi Biner

Tabel Kebenaran

Operasi Binary

Tabel Kebenaran untuk semua logikal operasi binary

Kunci Tabel Kebenaran