Rasio Emas φ Matematika
Rasio emas atau bilangan emas atau golden ratio (disebut juga rasio ekstrem dan rata-rata) adalah bilangan irasional, diwakili oleh huruf Yunani φ (phi) (huruf kecil) atau Φ (Phi) (huruf besar) setelah bahasa Yunani pematung Phidias.
Ini adalah bilangan irasional, solusi unik dari persamaan x² = x + 1. Ini kira-kira 1,61803398875.
Formula
φ = (1 + √5) / 2
Rasio emas adalah?
Rasio emas adalah proporsi, awalnya didefinisikan dalam geometri sebagai rasio unik a/b antara dua panjang a dan b sedemikian rupa sehingga rasio jumlah a + b dari dua panjang dengan yang lebih besar (a) sama dengan rasio yang lebih besar (a) pada yang lebih kecil (b).
Rasio emas (phi) direpresentasikan sebagai garis yang dibagi menjadi dua segmen a dan b, sehingga seluruh garis ke segmen yang lebih panjang seperti segmen a ke segmen b yang lebih pendek. Traced by Stannered, Public domain, via Wikimedia Commons
Rasio emas dalam geometri
Definisi pertama rasio emas adalah geometris.
Teoremanya adalah sebagai berikut: “Dua panjang a dan b (sangat positif) menghormati “proporsi emas” jika rasio a ke b sama dengan rasio a + b ke a.”
Dalam terang karya Euclid, definisi baru rasio emas muncul:
“Adalah bilangan real positif, dicatat φ, sama dengan pecahan a/b jika a dan b adalah dua bilangan dalam proporsi rasio ekstrim dan rata-rata.”
Berikut rumus yang sesuai: φ = (1 + √5) / 2.
φ adalah solusi dari persamaan kuadrat, yang memungkinkan kita memberikan definisi ketiga:
“Adalah solusi unik dari persamaan x² – x – 1 = 0.”
Berkat perhitungan ini, dimungkinkan untuk menggambar proporsi penalaran ekstrim dan rata-rata menggunakan kompas, penggaris, dan bujur sangkar:
- Gambarlah lingkaran C dengan jari-jari 1,
- Di ujung sinar 1, gambarlah segmen dengan panjang 1/2, tegak lurus terhadap sinar tersebut,
- Gambarlah lingkaran C’ dengan jari-jari 1/2 dengan menempatkan titik kompas di ujung ruas dengan panjang 1/2 yang telah digambar sebelumnya,
- Gambar ruas dari pusat lingkaran C ke ujung lingkaran C’ melewati pusat lingkaran C’,
- Panjang segmen ini adalah rasio emas.
Dari lingkaran-lingkaran ini, dimungkinkan untuk membangun persegi panjang emas.
Kita juga dapat mengintegrasikan kuadrat sisi a − b ke dalam persegi panjang emas sisi b × (a − b). Dengan menambahkan seperempat lingkaran di setiap kotak, kita mendapatkan sebuah spiral yang disebut spiral emas.
Rasio emas (golden ratio) juga dapat digunakan untuk konstruksi pentagon dan pentagram dan juga dalam trigonometri.
Vitruvian Man karya Leonardo da Vinci menghormati proporsi yang dijelaskan oleh Vitruvius, rasional lebih disukai daripada rasio emas oleh Pacioli sejauh menyangkut karya seni. Leonardo da Vinci, Public domain, via Wikimedia Commons. Jika Anda merentangkan kaki cukup lebar sehingga tinggi badan Anda berkurang seperempat belas, dan jika Anda membuka dan mengangkat tangan sehingga jari tengah sejajar dengan bagian atas kepala, ketahuilah bahwa pusar akan berada di tengah di antara ujungnya. kaki Anda terpisah dan kaki Anda terpisah akan membentuk dua sisi segitiga sama sisi. Leonardo da Vinci terpesona oleh tubuh manusia dan mekanisme fisik yang dikandungnya, tetapi baik dalam semangat Vitruvius maupun dalam semangat Leonardo Da Vinci, representasi manusia ini murni artistik, sama sekali tidak ilmiah.
Angka emas dalam aritmatika
Metode lain untuk menentukan rasio emas adalah aljabar.
Dalam aljabar, rasio ini didefinisikan sebagai akar positif unik dari sebuah persamaan.
Dengan menggunakan kedua pendekatan, aljabar dan geometri, persamaan kuadrat dapat diselesaikan. Kami kemudian berbicara tentang aljabar geometris. φ² = 1 + φ memiliki rasio emas sebagai penyelesaiannya.
Rasio ini juga dapat didekati dengan menggunakan fraksi lanjutan di tak terhingga. 1 + (1/(1 + (1/1))).
Urutan Fibonacci juga memberikan perkiraan rasio emas:
F(n) = (x^n – (1-x)^n)/(x – (1-x)) where x = (1+sqrt 5)/2 ~ 1.618. Therefore, phi = 0.618 and 1/Phi.
Dan sebaliknya, rumus Binet mengungkapkan deret Fibonacci sebagai fungsi dari angka emas.
Bagian emas juga digunakan dalam beberapa persamaan Diophantine.
Rasio berurutan, angka Fibonacci
| Simpangan φ dalam % | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | = 1.0000 | −38 |
| 1 | 2 | = 2.0000 | +23 |
| 2 | 3 | = 1.5000 | −7.3 |
| 3 | 5 | ≈ 1.6667 | +3.0 |
| 5 | 8 | = 1.6000 | −1.1 |
| 8 | 13 | = 1.6250 | +0.43 |
| 13 | 21 | ≈ 1.6154 | −0.16 |
| 21 | 34 | ≈ 1.6190 | +0.063 |
| 34 | 55 | ≈ 1.6176 | −0.024 |
| 55 | 89 | ≈ 1.6182 | +0.0091 |
| 89 | 144 | ≈ 1.6180 | − 0.0035 |
| 144 | 233 | ≈ 1.6181 | +0.0013 |
Apa hubungan antara rasio emas dan deret Fibonacci?
Ada hubungan khusus antara rasio emas (1,618…) dan deret Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 dst…) di mana setiap angka adalah jumlah dari dua angka sebelumnya.
Ketika kita mengambil dua angka berurutan dalam deret Fibonacci, dan membagi yang lebih besar dengan yang lebih kecil, hasilnya sangat mendekati rasio ini. Semakin tinggi angka deret Fibonacci, semakin dekat hasilnya dengan Rasio Emas. Dengan kata lain, rasio ini muncul dengan membagi sejumlah deret Fibonacci dengan pendahulunya. Semakin besar angkanya, semakin akurat perkiraannya.
Ambil contoh dua angka tinggi yang mengikuti satu sama lain dalam deret Fibonacci dan bagi yang lebih besar dengan yang lebih kecil:
10946 dibagi 6765 = 1,6180339985218033…
———————————–
———————————–
Bagaimana urutan Fibonacci dibangun?
Dua angka pertama adalah 0 dan 1, lalu setiap angka berikutnya adalah jumlah dari dua angka sebelumnya: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, etc…
——-
Apa itu Spiral Emas?
Spiral Emas adalah turunan langsung dari Rasio ini, bentuk geometris yang diturunkan langsung dari proporsi ilahi. Itu terdiri dari kuadran yang tertulis di setiap kotak.
Spiral emas mirip dengan dirinya sendiri. Bentuknya berulang tanpa batas saat diperbesar. Jahobr, CC0, via Wikimedia Commons
——-
Apa itu Sudut Emas?
Sudut emas adalah 137,5 derajat.
Sudut Emas muncul ketika sebuah lingkaran dibagi menjadi dua bagian yang dua panjangnya memiliki rasio yang sama dengan rasio emas.
Sudut emas adalah sudut yang dibentuk oleh busur b (merah) yang lebih kecil ketika dua busur yang membentuk lingkaran berada dalam rasio emas. Atau a/b= φ (φ adalah bilangan emas). User:Dicklyon, Public domain, via Wikimedia Commons
Sumber bacaan: CleverlySmart, MathIsFun, Wolfram, CueMath
