Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal.
Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari:
Teori himpunan.
Teori model.
Teori rekursi.
Teori pembuktian.
Matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.
1. Ditentukan premis-premis: 1) Jika Doddy rajin bekerja maka ia disayangi ibu. 2) Jika Doddy disayangi ibu maka ia disayangi nenek. 3) Doddy tidak disayang nenek. Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah… a. Doddy rajin bekerja, tetapi tidak disayang ibu. b. Doddy rajin bekerja. c. Doddy disayangi ibu. d. Doddy disayangi nenek. e. Doddy tidak rajin bekerja.
Pembahasan:
Misalkan:
p: Doddy rajin bekerja
q: Doddy disayangi ibu
r: Doddy disayangi nenek
Maka soal di atas menjadi:
1) p ⇒ q
q ⇒ r
2) p ⇒ r
~r
“Doddy tidak rajin bekerja”
Jawaban: E
2. Pernyataan yang sesuai dengan (p ˄ q) ⇒ ~r adalah… a. r ⇒ (~p ˅ ~q) b. (~p ˅ ~q) ⇒ r c. ~(p ˅ q) ⇒ r d. r ⇒ (p ˅ q) e. ~(p ˅ q) ⇒ ~r
Pembahasan:
(p ˄ q) ⇒ ~r akan memiliki nilai yang sama dengan kontraposisinya, yaitu r ⇒ ~(p ˄ q)
Atau r ⇒ ~p ˅ ~q
Jawaban: A
3. Dari argumentasi berikut: Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah … A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum E. Ibu pergi atau adik tersenyum
Pembahasan:
Ingat kembali penarikan kesimpulan metode silogisme :
p → q
q → r
————
∴ p → r
Selanjutnya kita lakukan pemisalan :
ibu tidak pergi = p
adik senang = q
adik tersenyum = r
Maka kesimpulan yang sesuai dengan pernyataan adalah jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum. Akan tetapi, karena kesimpulan tersebut tidak ada pada opsi jawaban, maka kita harus menentukan pernyataan yang ekuivalen atau sama dengan kesimpulan p → r.
Ingat kembali aturan kesetaraan:
p → r ≡ ~ p ∨ r
p → r : jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum ~ p ∨ r : ibu pergi atau adik tersenyum —> opsi E
4. Diketahui: Premis I: p ⇒ ~q Premis II: q ˅ r
Penarikan kesimpulan di atas menggunakan metode: a. Konvers b. Kontraposisi c. Modus Ponens d. Modus Tollens e. Silogisme
Pembahasan:
Pada soal di atas, q ˅ r ekuivalen dengan ~q ⇒ r, maka soal di atas dapat dituliskan kembali menjadi:
Premis I: p ⇒ ~q
Premis II: ~q ⇒ r
Cara penarikan kesimpulan di atas adalah silogisme.
Jawaban: E
5. Diketahui premis-premis: Premis 1 : Apabila Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas.
Premis 2 : Andi rajin belajar.
Kesimpulannya dari kedua premis diatas yaitu…
Jawaban:
Premis 1 :
Premis 2 : p
Kesimpulan : q (modus ponens)
Maka, kesimpulannya ialah Andi juara kelas.
6. Diketahui premis-premis: 1) Jika Anthony rajin belajar dan patuh pada orangtua maka Ayah membelikan bola basket. 2) Ayah tidak membelikan bola basket. Kesimpulan yang sah adalah… a. Anthony rajin belajar dan Anthony patuh pada orangtua. b. Anthony rajin belajar dan Anthony tidak patuh pada orangtua. c. Anthony tidak rajin belajar atau Anthony tidak patuh pada orangtua. d. Anthony tidak rajin belajar atau Anthony patuh pada orangtua. e. Anthony rajin belajar atau Anthony tidak patuh pada orangtua.
Pembahasan:
Misalkan:
p: Anthony rajin belajar
q: Anthony patuh pada orangtua
r: Ayah membelikan bola basket
Maka, soal di atas menjadi:
(p ˄ q) ⇒ r
~r
“Anthony tidak rajin belajar atau Anthony tidak patuh pada orangtua”
Jawaban: C
7. Diberikan nilai dari pernyataan p dan q sebagai berikut: p q B S Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut: a) p ∨ q b) p ∨ ~q c) ~p ∨ q
Pembahasan
Tabel lengkap dari disjungsi sebagai berikut:
. p q p ∨ q
1 B B B
2 B S B
3 S B B
4 S S S
Dari data soal dapat diperoleh nilai dari negasi p maupun negasi q, tinggal dibalikkan saja B jadi S, S jadi B
p q ~p ~q
B S S B
a) p ∨ q
p bernilai B, q bernilai S
Pasangan B S menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 2)
b) p ∨ ~q
p bernilai B, ~q bernilai B (kebalikan dari nilai q)
Pasangan B B menghasilkan nilai B (lihat tabel kebenaran nomor 1)
c) ~p ∨ q
~p bernilai S (kebalikan dari nilai p), q bernilai S
Pasangan S S menghasilkan nilai S (lihat tabel kebenaran nomor 4)
8. Perhatikan premis-premis berikut: 1) Jika kita bersungguh-sungguh maka kita akan berhasil. 2) Jika kita akan berhasil maka kita tidak akan kecewa. Negasi dari kesimpulan kedua premis tersebut adalah… a. Kita tidak akan kecewa atau kita tidak bersungguh-sungguh. b. Kita bersungguh-sungguh atau kita akan kecewa. c. Kita bersungguh-sungguh dan kita akan kecewa. d. Kita tidak bersungguh-sungguh dan kita akan kecewa. e. Kita berhasil dan kita akan kecewa.
Pembahasan:
Misalkan:
p: Kita bersungguh-sungguh.
q: Kita akan berhasil.
r: Kita tidak akan kecewa.
Maka soal di atas akan menjadi:
p ⇒ q
q ⇒ r
~( p ⇒ r) = p ˄ ~r
“Kita bersungguh-sungguh dan kita akan kecewa”
Jawaban: C
9. Diketahui premis-premis berikut Premis 1: Jika x^2 < 4 maka -2 < x < 2 Premis 2: x < -2 atau x > 2 Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah… a. x^2 ≥ 4 b. x^2 > 4 c. x^2 ≠ 4 d. x^2 < 4 e. x^2 = 4
Pembahasan:
Kesimpulannya adalah x^2 > 4
Jawaban: B
10. Diketahui permis-premis : 1. Jika Badu rajin belajar dan patuh, maka Ayah membelikan bola basket. 2. Ayah tidak membelikan bola basket Kesimpulan yang sah adalah … A. Badu rajin belajar dan patuh. B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh. C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh. D. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh. E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh.
Pembahasan:
Misal:
Badu rajin = a
Badu patuh = b
Badu rajin belajar dan patuh = p = (a∧b)
Ayah membelikan bola basket = q
p → q ~ q
————
∴ ~ p
~ p = ~ (a ∧ b) = ~a ∨ ~b Maka kesimpulan yang sah adalah Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh. (opsi C)
11. Diketahui premis-premis seperti berikut ini: Premis 1: Jika Tio kehujanan maka ia sakit. Premis 2: Jika Tio sakit maka ia demam. Kesimpulan dari dua premis tersebut adalah: a. Jika Tio sakit maka ia kehujanan b. Jika Tio kehujanan maka ia demam c. Tio kehujanan dan ia sakit d. Tio kehujanan dan ia demam e. Tio demam karena kehujanan
Pembahasan:
Jika:
p = Tio kehujanan
q = Tio sakit
r = Tio demam
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r
“Jika tio kehujanan maka ia demam”
Jawaban: B
12. Diketahui pernyataan p dan q Argumentasi: ~p ⇒ q ~r ⇒ ~q
Disebut … a. Implikasi b. Kontraposisi c. Modus ponens d. Modus tollens e. Silogisme
Pembahasan:
Pada soal di atas terlihat jelas bahwa penarikan kesimpulan tersebut adalah cara silogisme.
Jawaban: E
13. Kontraposisi dari: “Jika sungai itu dalam maka sungai itu banyak ikannya” adalah… a. Jika sungai itu tidak dalam maka sungai itu tidak banyak ikannya. b. Jika sungai itu banyak ikannya maka sungai itu dalam. c. Jika sungai itu tidak banyak ikannya maka sungai itu tidak dalam. d. Jika sungai itu dalam maka ikannya tidak banyak. e. Jika sungai itu dalam maka sungai itu banyak ikannya.
Pembahasan:
Misalkan:
p: Sungai itu dalam
q: Sungai itu banyak ikannya
Maka soal di atas akan menjadi: p ⇒ q
Kontraposisi dari p ⇒ q adalah ~q ⇒ ~p
“Jika Sungai itu tidak banyak ikannya maka sungai itu tidak dalam”
Jawaban: C
14. Diketahui pernyataan: 1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi 2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung 3. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah … A. Hari panas B. Hari tidak panas C. Ani memakai topi D. Hari panas dan Ani memakai topi E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.
Pembahasan:
Ingat kembali aturan kesetaraan :
~ q ∨ r ≡ q → r
Misal :
Hari panas = p
Ani memakai topi = q
Ani memakai payung = r
Maka pernyataan di atas dapat ditulis menjadi :
1. p → q 2. ~ q ∨ r 3. ~ r
Karena ~ q ∨ r ≡ q → r, maka dari pernyataan 1 dan 2 diperoleh :
p → q
q → r
————
∴ p → r
Selanjutnya, dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh :
p → r ~ r
————
∴ ~ p Jadi kesimpulan yang sah adalah hari tidak panas. —> opsi B.
Ingat kembali penarikan kesimpulan dengan modus Tollens:
p → r ~ r
————
∴ ~ p
15. Ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah … A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap D. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima
Pembahasan:
Ingat kembali ingkaran pernyataan berkuantor : ~ semua A adalah B = beberapa A bukan/tidak B ~ beberapa A adalah B = semua A bukan/tidak B ~ tidak ada A yang B = beberapa A adalah B
Berdasarkan aturan di atas, maka ingkaran yang sesuai untuk pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah Semua bilangan prima bukan bilangan genap. —> opsi B.
16. Ingkaran dari pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemonstrasi maka lalu lintas macet” adalah… a. Mahasiswa berdemonstrasi atau lalu lintas macet. b. Mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas macet. c. Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet d. Ada mahasiswa berdemonstrasi. e. Lalu lintas tidak macet.
Pembahasan:
Jika p = semua mahasiswa berdemonstrasi
q = lalu lintas macet
Maka soal di atas dapat dinotasikan sebagai: p ⇒ q
Ingkaran dari notasi di atas adalah: ~( p ⇒ q) = p ˄ ~q
Maka ingkarannya adalah: “ Semua mahasiswa berdemonstrasi dan lalu lintas tidak macet”
Jawaban: C
17. Perhatikan premis-premis berikut: 1. Jika saya giat belajar, maka saya bisa meraih juara 2. Jika saya bisa meraih juara, maka saya boleh ikut bertanding. Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah … A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut tanding B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut tanding C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.
Pembahasan:
misal :
saya giat belajar = p
saya bisa meraih juara = q
saya boleh ikut bertanding = r
Kesimpulan yang sah adalah :
p → q
q → r
————
∴ p → r —> jika saya giat belajar maka saya boleh ikut tanding.
Ingkaran dari kesimpulan : ~(p → r) = p ∧ ~r Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut tanding. (opsi A)
18. Diketahui premis-premis: Premis 1: Jika Mesir bergolak dan tidak aman maka beberapa warga asing dievakuasi. Premis 2: Semua warga asing tidak dievakuasi. Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah… a. Jika Mesir tidak bergolak atau aman maka beberapa warga asing dievakuasi b. Jika semua warga asing dievakuasi maka Mesir bergolak dan tidak aman c. Mesir bergolak tetapi aman. d. Mesir tidak bergolak atau aman. e. Mesir tidak bergolak dan semua warga asing tidak dievakuasi.
Pembahasan:
Misalkan:
p = Mesir bergolak
q = Mesir tidak aman
r = beberapa warga asing dievakuasi
Maka soal di ats menjadi:
Premis 1: ( p ˄ q ) ⇒ r
Premis 2: ~r
Kesimpulan: ~( p ˄ q )
~( p ˄ q ) = ~p ˅ ~q
“Mesir tidak bergolak atau aman”
Jawaban: D
19. Perhatikan premis-premis berikut: 1. Jika Adi murid rajin, maka ia murid pandai 2. Jika ia murid pandai, maka ia lulus ujian Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah … A. Jika Adi murid rajin, maka ia tidak lulus ujian B. Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian C. Adi bukan murid rajin atau dia lulus ujian D. Jika Adi bukan murid rajin, maka dia tidak lulus ujian E. Jika Adi murid rajin, maka ia lulus ujian.
Pembahasan:
misal :
Adi murid rajin = p
Adi murid pandai = q
Adi lulus ujian = r
Kesimpulan pernyataan di atas berdasarkan silogisme adalah :
p → q
q → r
————
∴ p → r —> Jika Adi murid rajin, maka ia lulus ujian.
Ingkaran dari kesimpulan :
~(p → r) = p ∧ ~r Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian. —> opsi B.
20. Kontraposisi dari ( ~p ⇒ q ) ⇒ ( ~p ˅ q ) adalah … a. ( p ˄ q ) ⇒ ( p ⇒ ~q ) b. ( p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ⇒ ~q ) c. ( p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ⇒ q ) d. ( ~p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ˄ ~q ) e. ( p ˄ ~q ) ⇒ ( ~p ˄ ~q )
Pembahasan:
Ingat rumus ini: Kontraposisi dari a ⇒ b adalah ~b ⇒ ~a
Pada soal, a = ( ~p ⇒ q ) dan b = ( ~p ˅ q )
~a = ~( ~p ⇒ q ) = ( ~p ˄ ~q )
~b = ~( ~p ˅ q ) = ( p ˄ ~q)
Jadi, kontraposisi dari ( ~p ⇒ q ) ⇒ ( ~p ˅ q ) adalah ( p ˄ ~q) ⇒ ( ~p ˄ ~q )
Jawaban: E
21. Diketahui premis-premis: 1) Jika hari hujan maka ibu memakai payung. 2) Ibu tidak memakai payung. Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah… a. Hari tidak hujan. b. Hari hujan. c. Ibu memakai payung. d. Hari hujan dan ibu memakai payung. e. Hari tidak hujan dan ibu memakai payung.
Pembahasan:
Misalkan:
p = hari hujan
q = ibu memakai payung
Maka soal di atas menjadi:
p ⇒ q
~q
“Hari tidak hujan”
Jawban: A
21. Pernyataan “Jika Bagus mendapat hadiah, maka dia senang” setara dengan … A. Jika Andy tidak senang, maka dia tidak mendapat hadiah B. Andy mendapat hadiah tapi dia tidak senang C. Andy mendapat hadiah dan dia senang D. Andy tidak mendapat hadiah atau dia tidak senang E. Andy tidak senang dan dia tidak mendapat hadiah
Pembahasan:
misal:
Andy mendapat hadiah = p
Dia senang = q
p → q
Berdasarkan aturan kesetaraan : (p → q) ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨qMaka pernyataan yang setara adalah : 1. Jika Andy tidak senang maka dia tidak mendapat hadiah 2. Andy tidak mendapat hadiah atau dia senangJadi jawaban yang tepat adalah opsi A.
22. Diketahui premis-premis berikut: 1) Jika sebuah segitiga siku-siku maka salah satu sudutnya 90 derajat. 2) Jika salah satu sudut 90 derajat maka berlaku teorema Phytagoras. Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis-premis di atas adalah… a. Jika sebuah segitiga siku-siku maka berlaku teorema Phytagoras b. Jika sebuah segitiga buka siku-siku maka berlaku teorema Phytagoras c. Sebuah segitiga siku-siku atau tidak berlaku teorema phytagoras. d. Sebuah segitiga siku-siku dan tidak berlaku teorema Phytagoras. e. Sebuah segitiga siku-siku dan berlaku teorema Phytagoras.
Pembahasan:
Misalkan:
p: Sebuah segitiga siku-siku
q: Salah satu sudutnya 90 derajat
r: Berlaku teorema Phytagoras
Maka soal di atas menjadi:
p ⇒ q
q ⇒ r
Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah: ~( p ⇒ r ) = p ˄ ~r
“Sebuah segitiga siku-siku dan tidak berlaku teorema Phytagoras”
Jawaban: D
23. Diketahui premis-premis: 1. Jika hari hujan, maka ibu memakai payung 2. Ibu tidak memakai payung Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis di atas adalah … A. Hari tidak hujan B. Hari hujan C. Ibu memakai payung D. Hari hujan dan ibu memakai payung E. Hari tidak hujan dan ibu memakai payung
Pembahasan:
misal:
Hari hujan = p
Ibu memakai payung = q
Ibu tidak memakai payung = ~q
Kesimpulan pernyataan di atas berdasarkan modus Tollens adalah :
p → q ~q
————
∴ ~p —> hari tidak hujan —> opsi A.
24. Ingkaran dari pernyataan, “ Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah… a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap. b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap. c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan prima. d. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima. e. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima
Pembahasan:
Ingkaran dari “beberapa” adalah “semua”
Ingkaran dari “ bilangan genap “ adalah “ bukan bilangan genap “
Jadi, ingkaran dari pernyataan di atas adalah: “ Semua bilangan prima bukan bilangan genap”
Jawaban: B
25. Diketahui premis-premis : 1. Jika hari ini hujan deras, maka Bona tidak akan keluar rumah 2. Bona keluar rumah Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah … A. Hari ini hujan deras B. Hari ini hujan tidak deras C. Hari ini hujan tidak deras atau Bona tidak keluar rumah D. Hari ini tidak hujan deras dan Bona keluar rumah E. Hari ini hujan deras atau Bona tidak keluar rumah
Pembahasan:
misal:
Hari ini hujan deras = p
Bona tidak akan keluar rumah = q
Bona keluar rumah = ~q
Kesimpulan pernyataan di atas berdasarkan modus Tollens adalah :
p → q ~q
————
∴ ~p —> hari ini hujan tidak deras —> opsi B.
26. Ingkaran pernyataan “Petani panen beras atau harga beras murah” adalah… a. Petani panen beras dan harga beras mahal. b. Petani panen beras dan harga beras murah. c. Petani tidak panen beras dan harga beras murah. d. Petani tidak panen beras dan harga beras tidak murah. e. Petani tidak panen beras atau harga beras tidak murah.
Pembahasan:
Misalkan:
p = petani panen beras
q = harga beras murah
Soal di atas menjadi: p ˅ q
Ingat rumus berikut: ~( p ˅ q) = ~p ˄ ~q
“Petani tidak panen beras dan harga beras tidak murah”
Jawaban: D
27. Diketahui premis-premis: 1. Jika Budi ulang tahun maka semua temannya datang 2. Jika semua temannya datang maka ia mendapatkan kado 3. Budi tidak mendapatkan kado Kesimpulan yang sah dari ketiga premis tersebut adalah … A. Budi ulang tahun B. Semua temannya datang C. Budi tidak ulang tahun D. Semua teman tidak datang E. Budi mendapatkan kado
Pembahasan:
misal:
Budi ulang tahun = p
Semua teman datang = q
Budi mendapatkan kado = r Budi tidak mendapatkan kado = ~r
Kesimpulan dari premis 1 dan 2 berdasarkan silogisme adalah :
p → q
q → r
————
∴ p → r —> jika Budi ulang tahun, maka ia mendapatkan kado.
Kesimpulan dari silogisme dan premis 3 berdasarkan modus Tollens adalah :
p → r ~r
————
∴ ~p —> Budi tidak ulang tahun —> opsi C.
28. Kontraposisi dari: “Jika sungai itu dalam maka sungai itu banyak ikannya” adalah…
A. Jika sungai itu tidak dalam maka sungai itu tidak banyak ikannya. B. Jika sungai itu banyak ikannya maka sungai itu dalam. C. Jika sungai itu tidak banyak ikannya maka sungai itu tidak dalam. D. Jika sungai itu dalam maka ikannya tidak banyak. E. Jika sungai itu dalam maka sungai itu banyak ikannya.
Penyelesaian
Kita misalkan:
p: Sungai itu dalam
q: Sungai itu banyak ikannya
Maka soal di atas akan menjadi: p ⇒ q
Kontraposisi dari p ⇒ q adalah ~q ⇒ ~p
“Jika Sungai itu tidak banyak ikannya maka sungai itu tidak dalam”
Jawaban: C
29. Diketahui premis-premis sebagai berikut: Premis 1: Jika Cindy lulus ujian maka saya diajak ke Bandung. Premis 2: Jika saya diajak ke Bandung maka saya pergi ke Lembang. Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah… a. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Cindy lulus ujian. b. Jika saya pergi ke Lembang maka Cindy lulus ujian. c. Jika Cecep lulus ujian maka saya pergi ke Lembang. d. Cindy lulus ujian dan saya pergi ke Lembang. e. Saya jadi pergi ke Lembang atau Cindy tidak lulus ujian.
Pembahasan:
Misalkan:
p = Cindy lulus ujian
q = Saya diajak ke Bandung
r = Saya pergi ke Lembang
Maka soal di atas menjadi:
Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Kesimpulan: p ⇒ r
“Jika Cindy lulus ujian maka saya pergi ke Lembang”
Jawaban: C
30. Diberikan data: Pernyataan p bernilai salah Pernyataan q bernilai benar
Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini: a) p ∧ q b) p ∧ ~q c) ~p ∧ q d) ~p ∧ ~q
Pembahasan
Tabel Nilai kebenaran untuk konjungsi :
p q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
S S S
Terlihat bahwa konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar.
Kita terapkan pada soal salah satunya dengan cara tabel:
p q ~p ~q p ∧ q p ∧ ~q ~p ∧ q ~p ∧ ~q
S B B S S S B S
Dari tabel di atas
a) p ∧ q bernilai salah
b) p ∧ ~q bernilai salah
c) ~p ∧ q bernilai benar
d) ~p ∧ ~q bernilai salah
31. Dari argumentasi berikut: Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah … A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum C. Ibu pergi atau adik tidak tersenyum D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum E. Ibu pergi atau adik tersenyum
Pembahasan :
Ingat kembali penarikan kesimpulan metode silogisme :
p → q
q → r
————
∴ p → r
Selanjutnya kita lakukan pemisalan :
ibu tidak pergi = p
adik senang = q
adik tersenyum = r
Maka kesimpulan yang sesuai dengan pernyataan adalah jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum. Akan tetapi, karena kesimpulan tersebut tidak ada pada opsi jawaban, maka kita harus menentukan pernyataan yang ekuivalen atau sama dengan kesimpulan p → r.
Ingat kembali aturan kesetaraan :
p → r ≡ ~ p ∨ r
p → r : jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum
~ p ∨ r : ibu pergi atau adik tersenyum —> opsi E
32. Kontraposisi dari ( ~p ⇒ q ) ⇒ ( ~p ˅ q ) adalah… A. ( p ˄ q ) ⇒ ( p ⇒ ~q ) B. ( p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ⇒ ~q ) C. ( p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ⇒ q ) D. ( ~p ⇒ ~q ) ⇒ ( p ˄ ~q ) E. ( p ˄ ~q ) ⇒ ( ~p ˄ ~q )
Penyelesaian
Rumus: Kontraposisi dari a ⇒ b adalah ~b ⇒ ~a
Pada soal, a = ( ~p ⇒ q ) dan b = ( ~p ˅ q )
~a = ~( ~p ⇒ q ) = ( ~p ˄ ~q )
~b = ~( ~p ˅ q ) = ( p ˄ ~q)
Jadi, kontraposisi dari ( ~p ⇒ q ) ⇒ ( ~p ˅ q ) adalah ( p ˄ ~q) ⇒ ( ~p ˄ ~q )
Jawaban: E
33. Diketahui Premis – premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika mobil listrik diproduksi massal, maka mobil listrik menjadi angkutan umum. Premis 2 : jika mobil listrik menjadi angkutan umum, maka harga BBM turun. Premis 3 : Harga BBM tidak turun. Kesimpulan yang benar dari premis diatas adalah…
Penyelesaian
Misalkan:
p = mobil listrik diproduksi massal
q = Mobil listrik menjadi angkutan umum.
r = Harga BBM turun.
Dari permisalan diatas, diperoleh premis – premis sebagai berikut:
Premis 1 : p => q
Premis 2 : q => r
Kesimpilan : p => r
Premis 3 : ~r
Kesimpulan : ~p
Jadi, Kesimpulan yang benar dari premi – premis di atas adalah ~p, ” Mobil listrik tidak diproduksi massal”.
34. Pernyataan “Jika Tina mendapat hadiah, maka dia senang” setara dengan… A. Jika Tina tidak senang, maka dia tidak mendapat hadiah B. Tina mendapat hadiah tapi dia tidak senang C. Tina mendapat hadiah dan dia senang D. Tina tidak mendapat hadiah atau dia tidak senang E. Tina tidak senang dan dia tidak mendapat hadiah
Pembahasan :
misal :
Tina mendapat hadiah = p
Dia senang = q
p → q
Maka pernyataan yang setara adalah :
1. Jika Tina tidak senang maka dia tidak mendapat hadiah
2. Tina tidak mendapat hadiah atau dia senang
Jadi jawaban yang tepat adalah opsi A.
35. Diketahui kalimat terbuka p(x): x2– 6x + 15 < 10. Peubah x pada kalimat terbuka p(x) berada dalam semesta pembicaraan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pernyataan p terbentuk dari p(x) dengan cara mengganti x ∈ S dan pernyataan ~p terbentuk dari ~p(x) dengan cara mengganti x ∈ S.
a) Carilah nilai-nilai x ∈ S sehingga p bernilai benar.
b) Carilah nilai-nilai x ∈ S sehingga ~p bernilai benar.
c) Jika P adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dan P’ adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka ~p(x) dalam semesta pembicaraan S, gambarlah P, P’, dan S dalam sebuah diagram Venn.
d) Dari jawaban soal c), jelaskan hubungan P dengan P’.
Penyelesaian:
a) Menentukan nilai-nilai x agar p bernilai benar
p terbentuk dari p(x): x2– 6x + 15 < 10
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, subtitusikan masing-masing anggota S ke dalam p(x) yaitu sebagai berikut.
● p(0): (0)2– 6(0) + 15 < 10
p(0): 15 < 10 (salah)
● p(1): (1)2– 6(1) + 15 < 10
p(1): 10 < 10 (salah)
● p(2): (2)2– 6(2) + 15 < 10
p(1): 7 < 10 (benar)
● p(3): (3)2– 6(3) + 15 < 10
p(3): 6 < 10 (benar)
● p(4): (4)2– 6(4) + 15 < 10
p(4): 7 < 10 (benar)
● p(5): (5)2– 6(5) + 15 < 10
p(5): 10 < 10 (salah)
● p(6): (6)2– 6(6) + 15 < 10
p(6): 15 < 10 (salah)
Jadi p bernilai benar apabila x = {2, 3, 4}.
b) Menentukan nilai-nilai x agar ~p bernilai benar
~p akan bernilai benar apabila p bernilai salah. Jadi agar ~p bernilai benar maka x = {0, 1, 5, 6}.
c) Gambar diagram Venn untuk himpunan P, P’ dan S adalah sebagai berikut.
d) Hubungan antara P dan P’ adalah sebagai berikut:
Himpunan P yang merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan himpunan P’ yang merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka ~p(x) berada dalam semesta yang sama yaitu S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Apakah Anda memiliki sesuatu untuk dijual, disewakan, layanan apa saja yang ditawarkan atau lowongan pekerjaan? Pasang iklan & promosikan barang dan jasa Anda sekarang juga! 100% GRATIS di: www.TokoPinter.com3 Langkah super mudah: tulis iklan Anda, beri foto & terbitkan! semuanya di Toko Pinter
Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai
Respons “Ooo begitu ya…” akan lebih sering terdengar jika Anda mengunduh aplikasi kita!
Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!
