Lingkaran Satuan

Lingkaran satuan bersangkutan dengan aljabar (dengan persamaan lingkaran), geometri (dengan sudut, segitiga dan teorema Pythagoras) dan trigonometri (sinus, kosinus, tangen) di satu tempat.

Namanya memperjelas: lingkaran satuan (unit circle dalam bahasa Inggris) adalah lingkaran dengan jari-jari r = 1, yang untuk memudahkan dan diasumsikan berpusat di titik asal (0, 0). Perhatikan bahwa kita berbicara tentang kasus dua dimensi.

Sudut dan lingkaran satuan

Dalam lingkaran satuan, atau lingkaran dengan radius apa pun, adalah cara yang sangat nyaman untuk bekerja dengan sudut. Ingatlah bahwa ukuran suatu sudut sebanding dengan jumlah keliling lingkaran yang dibentang oleh sudut tersebut. Baca juga: Sudut Istimewa Sampai 360° (Trigonometri) | Beserta Soal dan Jawaban

Misalnya, jika suatu sudut menutupi seperempat keliling dan titik asalnya sama dengan pusat lingkaran, maka besar sudut tersebut adalah seperempat dari besar sudut penuh, yaitu 360/4 = 90° jika diukur dalam derajat, atau 2π/4 = π/2 jika diukur dalam radian (besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran berjari-jari 1 meter dan membentuk busur sepanjang juga 1 meter).

Ada keadaan lain di mana asal sudut tidak sama dengan pusat lingkaran, seperti dalam kasus grafik di bawah ini:

Fungsi trigonometri dan lingkaran satuan

Dengan menggunakannya sangat berguna untuk bekerja dengan fungsi trigonometri. Memang, ternyata jika kita memiliki titik (x, y) dalam lingkaran berjari-jari r, maka kita memiliki ini

Sin α = y / r
cos α = x / r
tan α = y / r

di mana adalah sudut yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini:

Fungsi trigonometri dan lingkaran satuan

Tetapi ketika r = 1, yaitu ketika jari-jarinya adalah 1 (yang merupakan kasus dalam lingkaran satuan), kita menemukan bahwa

sin α = y
cos α = x
tan α = y / x

Oleh karena itu, operasi dengan fungsi trigonometri jauh lebih mudah ketika jari-jari lingkaran adalah 1, dan kemudian semuanya menjadi jauh lebih visual. Dan kita dapat menggunakan aturan mnemonik seperti “sinus suatu sudut adalah sisi yang berlawanan” dan “cosinus suatu sudut adalah sisi yang berdekatan”.

Persamaan lingkaran satuan

Untuk lingkaran-satuan yang berpusat di titik asal, persamaan yang dipenuhi oleh sembarang titik (x,y) di atasnya adalah:

x² + y² = 1

Setiap pasangan (x, y) yang termasuk dalam lingkaran berjari-jari 1 harus memenuhi syarat di atas. Jika titik (x,y) tidak memenuhi syarat di atas, maka titik tersebut tidak termasuk dalam lingkaran.

Contoh 1

Apakah titik {(√2 / 2), (√2 / 2)} termasuk dalam lingkaran satuan ?

Jawaban:

Kita perlu memeriksa bahwa titik tersebut memenuhi persamaan yang ditetapkan di atas. Pada suatu:

x² + y² = {(√2 / 2)} ² + {(√2 / 2)} ² = 2/4 + 2/4 = 1

Jadi dalam hal ini, titik {(√2 / 2), (√2 / 2)}

Contoh 2

Apakah titik (1/2, 2/3) termasuk dalam lingkaran satuan?

Jawaban:

Kita perlu memeriksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang ditetapkan di atas atau tidak. Pada suatu:

x² + y² = (1/2) ² + (2/3) ² = 1/4 + 4/9 = 25/36

Jadi dalam hal ini, titik (1/2, 2/3) TIDAK termasuk dalam lingkaran satuan

Pelajari lebih lanjut tentang lingkaran kesatuan

Salah satu pertanyaan yang selalu saya dapatkan adalah apakah persamaan lingkaran satuan menggambarkan suatu fungsi atau tidak. Jawabannya adalah tidak. Memang, persamaannya lebih mendefinisikan dalam suatu hubungan.

Setidaknya ada 2 cara untuk mengetahuinya. Tes yang disukai untuk siswa adalah “tes garis vertikal”. Kami memiliki grafik berikut:

Lihat pada grafik di atas, dan kita dapat melihat bahwa kita memiliki garis vertikal yang melintasi grafik di lebih dari satu titik. Kesimpulannya adalah grafik mewakili relasi, bukan fungsi, sekarang jika Anda ingin tahu apa yang terjadi ketika jari-jari bukan 1, dan lingkaran tidak berpusat di titik asal.

Fungsi satuan dan fungsi trigonometri

Satuan lingkaran ini berhubungan dengan semua fungsi trigonometri. Sinus dan cosinus secara langsung diwakili oleh sisi-sisi segitiga dengan simpul pada lingkaran. Selain itu, mengukur sudut dalam radian membuat hubungan yang jelas dengan sudut dan panjang busur yang dihasilkan.

Radian adalah pengukuran sudut alami untuk lingkaran, meskipun beberapa orang cenderung merasa lebih nyaman dengan derajat. Gunakan konversi radian ini ke derajat untuk membuat konversi yang diinginkan jika Anda merasa lebih nyaman dengan derajat daripada radian.