Interval Matematika (Selang)

Interval (selang) adalah himpunan bagian “terhubung” dari kumpulan total (atau linier) yang merupakan himpunan bagian bilangan real (R). Anda dapat menggunakannya dalam analisis, topologi urutan, dan bidang matematika terkait.

Interval/Selang adalah sentral bagi aritmetika interval, yang merupakan suatu teknik numerical computing (alat matematika yang dirancang untuk memecahkan masalah numerik) umum yang secara otomatis menyediakan penutupan pasti bagi rumus-rumus sembarang, bahkan dengan adanya ketidakpastian, perkiraan matematika, dan pembulatan aritmetika.

Sekilas tentang selang (matematika)

Persyaratan	Cara menulis	Definisi	Gambar Grafik
(ab) interval tertutup atau interval kompak	[a, b]	x ∈ R : a ≤ x ≤ b
interval terbuka	(a, b) atau ] a, b [	x ∈ R : a < x < b
interval setengah terbuka (lebih tepatnya: buka kanan)	[a, b) atau [a, b [	x ∈ R : a ≤ x ≤ b
setengah terbuka (lebih tepatnya: kiri-terbuka)	(a, b] atau ] a, b]	x ∈ R : a < x ≤ b

Tanda kurung siku atau tanda kurung siku yang berdiri di luar menunjukkan bahwa titik tepi ini bukan merupakan elemen interval/selang. Dalam kasus kurung siku mengarah ke dalam, titik tepi adalah bagian dari interval:

Untuk membedakan antara interval terbuka dan tertutup

Interval terbuka (a, b) dan interval tertutup [a, b] berbeda dengan interval terbuka (a, b) titik tepi a dan b bukan elemen interval, sedangkan kasus dengan interval tertutup interval [a, b] sudah terjadi. Ini juga merupakan perbedaan utama antara kedua jenis selang(interval), yang menjelaskan semua perbedaan lainnya.

Perbedaan ini juga menjelaskan penamaan interval individu. Dalam topologi, sebuah himpunan disebut terbuka jika dan hanya jika tidak ada titik batasnya yang merupakan elemen himpunan. Selanjutnya, satu set selesai jika berisi semua titik batasnya. Set terbuka dan tertutup dipelajari lebih dekat dalam topologi.

Interval yang tidak tepat atau pertidaksamaan

Mungkin juga interval dibatasi hanya pada satu sisi. Interval seperti itu kemudian disebut interval yang tidak tepat atau pertidaksamaan:

Notasi (cara menulis)	Definisi	Gambar Grafik
(-∞, a] atau ]-∞, a]	x ∈ R : x ≤ a
(-∞, a) atau ]-∞, a[	x ∈ R : x < a
[a, ∞) atau [a, ∞[	x ∈ R : x ≥ a
(a, ∞) atau ]a, ∞[	x ∈ R : x > a

Contoh Soal dan Jawaban

1. Soal pertidaksamaan dengan interval. Tulislah setiap set real berikut sebagai interval:
1. himpunan real xx sedemikian sehingga −3≤x≤7
2. himpunan bilangan real xx sehingga x> −7
3. himpunan bilangan real xx sehingga x≤0

Indikasi
Metode umum

1. kita mulai dengan merepresentasikan bilangan real memverifikasi ketidaksamaan ini (framing ini) pada garis bilangan;
2. batas interval ditentukan dengan menggunakan representasi ini;
3. kita akhirnya tertarik pada arti tanda kurung.

Jawaban:
1. [−3; 7] 2.] −7; + ∞ [
3.] −∞; 0]

2. Pertidaksamaan 3≤x<8 dapat dituliskan sebagai…

A. (3,8)                          D. (3,8] B. [3,8)                          E. [3,∞)
C. [3,8]

Pembahasan
Pada pertidaksamaan 3≤x<8, batas bawah x adalah 3 dan batas atas x adalah 8.
Perhatikan bahwa 3 termasuk nilai x sehingga penulisan selangnya menggunakan tanda [, sedangkan 8 bukan termasuk nilai x sehingga penulisan selangnya menggunakan tanda ). Jadi, pertidaksamaan 3≤x<8 dapat ditulis sebagai [3,8)
(Jawaban B)

3. Selang (−6,5] dapat ditulis sebagai pertidaksamaan…

A. −6<x<5
B. −6<x≤5
C. −6≤x<5
D. −6≤x≤5
E. −6<x<∞

Pembahasan
Perhatikan bahwa selang (−6,5] menggunakan tanda ( pada batas bawah, sedangkan ] pada batas atas. Ini berarti, nilai x di antara −6 dan 5 dengan catatan bahwa 5 termasuk dalam nilai x. Secara matematis, ditulis −6<x≤5
(Jawaban B)

4. Bilangan prima dalam satu interval. Pernyataan Tentukan semua bilangan prima di [1; 13 [

Kunci jawaban

Angka-angka ini adalah 2, 3, 5, 7 dan 11. 13 tidak termasuk dalam interval [1; 13 [, dan 1 bukan bilangan prima.

Baca juga: Simbol Matematika Lengkap Beserta Artinya – Math Symbol

5. Selang [2,∞) dapat ditulis dalam pertidaksamaan…

A. 2<x<∞                        D. x<2
B. 2≤x<∞                        E. x>2
C. 2≤x≤∞

Pembahasan
Perhatikan bahwa selang [2,∞) menggunakan tanda [ pada batas bawah, sedangkan ) pada batas atas. Ini berarti, nilai x di antara 2 dan ∞ dengan catatan bahwa 2 termasuk dalam nilai x. Secara matematis, ditulis 2≤x<∞, ekuivalen dengan x≥2.
(Jawaban B)

6 Milik atau tidak? Lengkap dengan lambang keanggotaan ∈∈ atau non keanggotaan ∉∉.

1. 1 ⋯ [0; 2] 2. −1 ⋯ [0; 2] 3. 1 ⋯] −∞; 2 [
4. 1 ⋯] −∞; −2] 5. 1 ⋯ [1; 2] 6. 1 ⋯] 1; 2] 7. 10 − ³ ⋯ [0; 1] 8. π ⋯ [3,14; 3,15] 9. −2 ⋯] −√2; √2 [

Jawaban:
1. 1∈ [0; 2] 2. −1∉ [0; 2] 3. 1∈] −∞; 2 [
4. 1∉] −∞; −2] 5. 1∈ [1; 2] 6. 1∉] 1; 2] 7. 10 − ³∈ [0; 1] 8. π∈] 3,14; 3,15 [
9. −2∉] −√2; √2 [

7. Ketimpangan (Pertidaksamaan). Menghasilkan sebagai berikut. Kami menganggap bilangan real xx sehingga −2 <x≤1−2 <x≤1. Kotakkan ekspresi berikut:

1. x + 1
2. x – 4
3. 3x
4. −2x
5. −x / 2
6. 2x – 7

Indikasi
Terapkan aturan berikut:
kami tidak mengubah ketidaksetaraan dengan menambahkan bilangan real ke setiap anggota;
kami tidak mengubah ketidaksetaraan dengan mengalikannya dengan riil positif; kita harus membalikkan artinya jika kita mengalikannya dengan real negatif.

Jawaban:

1. Kami menambahkan + 1 ke setiap anggota, dan kami menemukan −1 <x≤2
2. Kami menambahkan −4 ke setiap anggota, dan kami menemukan −6 <x≤ – 3
3. Kita mengalikan dengan 3 yang merupakan real positif, dan kita menemukan −6 <3x≤3
4. Kita mengalikan dengan −2, yang merupakan real negatif, dan oleh karena itu kita mengubah arah pertidaksamaan. Kami menemukan 4> −2x> −2
5. Kita mengalikan dengan −1 / 2 yang merupakan real negatif dan oleh karena itu kita mengubah arah pertidaksamaan. Kami menemukan 1> x≥ – 12
6. Kita mengalikan dengan 2, yang merupakan real positif, dan kita menemukan −4 <2x≤2. Kemudian kita tambahkan −7 dan akhirnya kita temukan −11 <2x – 7≤ – 5

8. Ketimpangan atau Pertidaksamaan. Pecahkan ketidaksetaraan berikut:
1. 2x + 3≥4
2. −3x – 4 <−2

Indikasi

Mulailah dengan mengisolasi yang tidak diketahui di satu sisi dengan menggunakan fakta bahwa kita tidak mengubah pertidaksamaan dengan menambahkan suku yang sama ke sisi kanan dan kiri. Kemudian kalikan dengan konstanta untuk menjadi pertidaksamaan yang hanya melibatkan xx. Hati-hati terhadap tanda konstan!

Jawaban:

1. Kita mulai dengan menambahkan −3 di kiri dan kanan pertidaksamaan tersebut. Pertidaksamaan tersebut setara dengan 2x≥1 Kami kemudian mengalikan setiap anggota dengan 1/2, yang hasilnya positif. Oleh karena itu, kita tidak boleh mengubah arah pertidaksamaan, yang setara dengan x≥1 / 2 Akhirnya, himpunan solusi adalah selang [1/2; + ∞ [

2. Kita mulai dengan menambahkan 4 ke setiap anggota ketidaksetaraan. Pertidaksamaan tersebut setara dengan – 3x <2 Kemudian kalikan dengan −1 / 3, yang hasilnya negatif, jadi kita harus mengubah arah pertidaksamaan tersebut. Oleh karena itu, persamaan tersebut setara dengan x> −2 / 3
Himpunan solusinya adalah ] −2/3; + ∞ [

9. Pertidaksamaan −2<x≤6 dapat ditulis sebagai…

A. (−2,6)                       D. [−2,6] B. (−2,6]                       E. (−∞,6] C. [−2,6)

Pembahasan

Pada pertidaksamaan −2<x≤6, batas bawah x adalah −2 dan batas atas x adalah 6.
Perhatikan bahwa −2 bukan termasuk nilai x sehingga penulisan selangnya menggunakan tanda (, sedangkan 6 termasuk nilai x sehingga penulisan selangnya menggunakan tanda ]. Jadi, pertidaksamaan −2<x≤6 dapat ditulis sebagai (−2,6] (Jawaban B)

Sumber bacaan: Cleverly Smart, Study, Brilliant

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing