Penjelasan Gelombang Sinus

Gelombang sinus atau sinusoidal adalah fungsi matematika yang berbentuk osilasi halus berulang. Fungsi ini sering muncul dalam ilmu matematika, fisika, pengolahan sinyal, dan teknik listrik, dan berbagai bidang lain.

Bentuk paling sederhana dari fungsi gelomban sinus terhadap waktu )t) adalah

di mana:

• A, amplitudo, adalah puncak simpangan fungsi dari posisi tengahnya,
• ω, frekuensi sudut, menunjukkan berapa banyak gerak bolak-balik yang terjadi dalam satu satuan waktu, dalam radian per detik,
• φ, fase, menunjukkan di mana posisi awal gerakan ketika t=0,
  • Jika fase tidak bernilai nol, seluruh gelombang akan tampak bergeser menurut sumbu X (sumbu waktu) sebesar φ/ω detik. Nilai negatif pada fase menunjukkan jeda, sedang nilai positif menunjukkan gelombang “berangkat lebih awal”.

Gelombang sinus sangat penting dalam bidang fisika karena gelombang ini mempertahankan bentuknya ketika ditambahkan kepada gelombang sinus berfrekuensi sama yang lain walaupun fasenya berbeda. Gelombang ini merupakan satu-satunya fungsi periodik yang memiliki sifat ini. Sifat ini menjadikan gelombang ini bagian penting dalam Analisis Fourier.

Secara umum, fungsi ini dapat memiliki:

• dimensi ruang, x (posisi), dengan frekuensi k (juga disebut nomor gelombang)
• titik tengah amplitudo tidak bernilai nol, D (disebut bias DC)

dengan rumus:

Nomor gelombang bergantung pada frekuensi sudut dengan rumus:

di mana λ adalah panjang gelombang, f adalah frekuensi, dan c adalah kecepatan fase

Persamaan ini menggambarkan gelombang sinus dalam satu dimensi, yaitu persamaan di atas menggambarkan amplitudo gelombang pada posisi x ketika waktu t dalam satu garis saja. Contohnya gelombang pada seutas tali yang digoyang-goyangkan.

Untuk gelombang yang lebih rumit, seperti gelombang air yang terbentuk dari batu yang dilempar kedalam kolam, maka diperlukan rumus yang lebih rumit juga.

Contoh Soal dan Jawaban Gelombang Sinus

1. Jika diketahui suatu gelombang untuk mencapai bentuk gelombang yang sempurna (1 periode) memerlukan waktu selama 0,001 detik, maka berapakah nilai frekuensi gelombang tersebut?

Diketahui : T = 0,001 detik = 10^-3 detik
Ditanya    : ƒ = ?
Jawab      :
ƒ=1/T
= 1/ 10^-3 detik
= 10³/detik
ƒ=1000Hz=1LHz

2. Jika panjang gelombang sinusoidal di atas adalah 80 cm maka titik yang memiliki beda fase 3/4 adalah…

Jika panjang gelombang sinusoidal di atas adalah 80 cm maka titik yang memiliki beda fase 3/4 adalah P-Q dan Q-R. Jawaban: A) Gelombang P dengan A.

3. Jika suatu gelombang memiliki nilai frekuensi sebesar 300 KHz, berapakah panjang gelombang-nya?

Diketahui : ƒ = 300 KHz = 300 x 10³ Hz
Ditanya    : λ = ?
Jawab      :
λ = c / ƒ
= (300×10⁶ m/s) / (300×10³ Hz)
λ = 10³ m = 1000 m = 1 Km

4. Disediakan 2 pipa organa yang satu terbuka dan yang lain tertutup masing-masing dengan panjang yang sama. Jika cepat rambat bunyi di udara 340 m.s⁻¹ maka perbandingan frekuensi nada atas kedua pipa organa terbuka dengan frekuensi nada atas kedua pipa organa tertutup adalah…

A.   2 : 1
B.   3 : 2
C.   4 : 5
D.   5 : 6
E.   6 : 5

Pembahasan:

Diketahui:

v = 340 m.s^-1

l₁ = l₂

Ditanyakan: f₂ terbuka : f₂ tertutup = …?

Jawaban:

Frekuensi terbuka dapat kita tentukan dengan rumus:

f_n = ½ (n + 1) v/l
f₂ = ½ (2 + 1) v/l
f₂ = 3/2 v/l

Sedangkan frekuensi tertutup dapat kita tentukan dengan rumus:

f_n = ¼ (2n + 1) v/l
f₂ = ¼ (2 . 2 + 1) v/l
f₂ = 5/4 v/l

Setelah ketemu kedua frekuensi tersebut, sekarang kita bandingkan keduanya.

f₂ terbuka : f₂ tertutup = 3/2 : 5/4 = 6 : 5

Jadi, perbandingan frekuensi nada atas kedua pipa organa terbuka dengan frekuensi nada atas kedua pipa organa tertutup adalah 6 : 5. Jadi jawabannya adalah E.   6 : 5.

Kedua gelombang sinusoidal ini memiliki panjang gelombang dan amplitudo yang sama dan bergerak dalam arah yang berlawanan. Yang pertama adalah ke kiri, yang kedua ke arah rigth. Dengan menerapkan prinsip superposisi kita akan mendapatkan persamaan gelombang berdiri:

y = 2A sin kx cos ω t

jadi kita harus mendapatkan jumlah yang dibutuhkan dari keduanya di atas:

A = 0,04 m
ω = 10π
k = 2π

demikian persamaan kita menjadi

y = 2 (0,04) sin 2πx cos 10π t
y = 0,08 sin 2πx cos 10π t

0,08 sin 2πx itulah yang kita sebut amplitudo gelombang berdiri (As). Untuk x = 1/4 m

As = 0,08 sin 2πx
As = 0,08 sin 2π (1/12)
As = 0,08 sin (π / 6)
As = 0,08 (0,5) = 0,04 m

7. Suatu gelombang berjalan melalui titik A dan B yang berjarak 8 cm dalam arah dari A ke B. Pada saat t = 0 simpangan gelombang di A adalah 0. Jika panjang gelombangnya adalah 12 cm dan amplitudonya = 4 cm, tentukan simpangan titik B pada saat fase titik A ^3π/₂! 

Jawaban:

Persamaan gelombang berjalan untuk titik B:

Y_B = A sin 2π ( ^t/_T − ^x/_λ)
2 π ^t/_T = ^3π/₂
^t/_T = ³/₄
Y_B = 4 sin 2π ( ³/₄ − ⁸/₁₂)
Y_B = 4 sin 2π ( ⁹/₁₂ − ⁸/₁₂)
Y_B = 4 sin ( ^π/₆ ) = 4 sin 30° = 4 ( 0.5) = 2 cm

9. Sebuah gelombang transversal merambat yang menurut persamaan y = 0,5 sin (8πt – 2πx) m.
Tentukanlah arah gelombang dan Amplitudo gelombangnya!

Jawaban:
Arah gelombang ( sumbu x +) karena persamaan bertanda negatif maka gelombang bergerak ke arah kanan sedangkan amplitudo gelombangnya adalah A = 0,5 m

10.Fungsi gelombang sebuah gelombang sinusoidal yang merambat pada tali adalah y (x,t)=0,03 sin (3,5t-2,2x), dengan x dan y dalam meter dan t dalam sekon. hitunglah amplitudo, panjang gelombang, frekuensi, periode dan laju gelombangnya!

Jawaban:

Y(x, t) = A sin (ωt – kx)
y(x, t) = 0,03 sin (3,5t – 2,2x)

Amplitudo
A = 0,03

Panjang gelombang
k = (2π) / λ → λ = (2π) / k
λ = (2π) / 2,2 = 10/11 π

Frekuensi
ω = 2πf → f = ω / (2π)
f = 3,5 / (2π) = 7 / (4π)

Periode
T = 1/f
= 1 / [7 / (4π)] = (4π) / 7

Laju gelombang
v = ω / k
= 3,5 / 2,2 = 35 / 22