Faktorial Matematika Beserta Contoh Soal dan Jawaban

Faktorial Matematika

Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Secara umum dapat dituliskan sebagai:

n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1

Sebagai contoh, nilai dari $7!$ adalah 7 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040. Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial :

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
12 479001600
14 87178291200
16 20922789888000
18 6402373705728000
20 2432902008176640000
25 1.5511210043×10²⁵
42 1.4050061178×10⁵¹
50 3.0414093202×10⁶⁴
70 1.1978571670×10¹⁰⁰
100 9.3326215444×10¹⁵⁷
450 1.7333687331×10^1.000
1000 4.0238726008×10^2.567
3249 6.4123376883×10^10.000
10000 2.8462596809×10^35.659
25206 1.2057034382×10^100.000
100000 2.8242294080×10^456.573
205023 2.5038989317×10^1.000.004
1000000 8.2639316883×10^5.565.708

Definisi Faktorial

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:

n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{untuk semua }}n\geq 1.

Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk $n\geq 0$

n!={\begin{cases}n\cdot (n-1)!,&{\mbox{untuk }}n\geq 1\\1,&{\mbox{untuk }}n=0.\end{cases}}

Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,{\frac {n^{n}}{e^{n}}}.

Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t

n!=\Gamma (n+1)

Contoh Soal dan Jawaban Faktorial

1. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 10(n + 2)!

Jawaban:

(n + 3)! = 10(n + 2)!

(n +3)(n + 2)! = 10(n + 2)!

n + 3 = 10 0

n = 7

2. Berapakah nilai dari $\displaystyle \huge \\ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+...+\frac{99}{100!}$ ?

Jawaban:

$\displaystyle \\ \frac{k}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+1)!}$

$\displaystyle \\ = \frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}$

Maka $\displaystyle \huge \\ \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4}+...+\frac{99}{100!}$

$\displaystyle \huge \\= \left ( \frac{1}{1! } - \frac{1}{2! } \right) + \left ( \frac{1}{2! } - \frac{1}{3! } \right) +...+ \left ( \frac{1}{99! } - \frac{1}{100! } \right)$