Faktoradik Matematika - Nilai, Cara, Kode Program dan Contohnya

Nilai Faktoradik

Nilai sebuah faktoradik a_n…a₄a₃a₂a₁a₀ dapat dengan mudah didapat menggunakan formula:

\sum _{i=0}^{n}a_{i}.i!

Sebagai contoh, bilangan 2,1,1,1,0

Posisi setiap bilangan, sama seperti pada sistem bilangan posisional lainnya, dinomori mulai dari 0 dari sebelah kanan.

Bilangan ke	5	4	3	2	1	0
Bilangan	0	2	1	1	1	0
Faktorial	120	24	6	2	1	1

Sehingga nilainya adalah sebesar: 2×4! + 1×3! + 1×2! + 1×1! + 0×0! = 57

Di bawah ini adalah daftar 24 faktoradik pertama beserta nilainya:

Faktoradik	Nilai	Faktoradik	Nilai	Faktoradik	Nilai	Faktoradik	Nilai
0, 0, 0, 0	0	1, 0, 0, 0	6	2, 0, 0, 0	12	3, 0, 0, 0	18
0, 0, 1, 0	1	1, 0, 1, 0	7	2, 0, 1, 0	13	3, 0, 1, 0	19
0, 1, 0, 0	2	1, 1, 0, 0	8	2, 1, 0, 0	14	3, 1, 0, 0	20
0, 1, 1, 0	3	1, 1, 1, 0	9	2, 1, 1, 0	15	3, 1, 1, 0	21
0, 2, 0, 0	4	1, 2, 0, 0	10	2, 2, 0, 0	16	3, 2, 0, 0	22
0, 2, 1, 0	5	1, 2, 1, 0	11	2, 2, 1, 0	17	3, 2, 1, 0	23

Mendapatkan Faktoradik dari Sembarang Bilangan

Suatu faktoradik bisa diperoleh dari sembarang bilangan $n$ dengan algoritme sebagai berikut:

Cari $i!$ terbesar di mana $i!<n$
Bagi $n$ dengan $i!$ , akan didapatkan hasil bagi $d$ dan sisa bagi $m$ .
$d$ adalah digit faktoradik ke- $i$ , yaitu $a_{i}$
Ulangi dari langkah kedua, dengan $m$ (sisa bagi) menggantikan $n$ , dan $i-1$ menggantikan $i$ .
Algoritme selesai jika $i$ sudah mencapai 0.

Ketika berakhir, algoritme ini akan menghasilkan deretan faktoradik a_n…a₄a₃a₂a₁a₀.

Permutasi

Bilangan Inversi

Membentuk Permutasi berdasarkan Faktoradik

Pertama-tama kita harus membuat kesepakatan mengenai indeks. Indeks untuk untai dimulai dengan indeks 0 dari kiri.

Untai	a	b	c	d	e	f	g
Indeks	0	1	2	3	4	5	6

Disediakan sebuah untai $s$ , dan sebuah faktoradik $f$ , maka algoritme untuk menghasilkan sebuah permutasi dari $s$ adalah:

Sediakan satu tempat, yaitu $s'$ untuk menampung untai hasil permutasi
Mulai dari digit $f$ paling kiri (digit dengan indeks posisi paling besar):
- Ambil huruf dari $s$ di posisi $f_{i}$ , pindahkan ke $s'$
Ulangi hingga tidak ada lagi huruf pada untai $s$

Ketika algoritme ini selesai, $s'$ akan merupakan permutasi dari $s$ yang sesuai dengan $f$

Sebagai contoh, untuk menghasilkan permutasi dari abcdefg, dengan indeks faktoradik 5341200 dengan algoritme tersebut, diberikan:

s=\mathbf {abcdefg}

dan

f=(5,3,4,1,2,0,0)

Disediakan $s'=\epsilon$ (masih kosong).

Untai	a	b	c	d	e	f	g
Indeks	0	1	2	3	4	5	6

Pertama, mulai dari $f_{6}$ , yaitu 5. Kemudian pindahkan huruf ke-5 (indeks 5) pada untai $s$ ke untai $s'$ , yaitu huruf f. Kondisi $s$ dan $s'$ sekarang menjadi $s=\mathbf {abcdeg}$ dan $s'=\mathbf {f}$

Dengan $s$ sekarang menjadi:

Untai	a	b	c	d	e	g
Indeks	0	1	2	3	4	5

Bilangan kedua dari $f$ , yaitu $f_{5}$ adalah 3, maka pindahkan huruf ke-3 pada untai $s$ ke untai $s'$ . Maka kondisinya menjadi $s=\mathbf {abceg}$ dan $s'=\mathbf {fd}$

Untai	a	b	c	e	g
Indeks	0	1	2	4	6

Dan seterusnya, yang jika dituliskan sekaligus adalah seperti ini:

i	$f_{i}$	$s$	$s'$
6	5	abcdeg	f
5	3	abceg	fd
4	4	abce	fdg
3	1	ace	fdgb
2	2	ac	fdgbe
1	0	c	fdgbea
0	0	fdgbeac

Kode-kode program faktoradik

Kode program untuk membangkitkan faktoradik

Pascal

 FMax := CariFaktorialTerbesar(Bilangan);
 Sisa := Bilangan;
 for i := FMax downto 0 dobegin
   f := Faktorial(i);
   A[i] := Sisa div f;
   Sisa := Sisa mod f;
 end;

Kode untuk membangkitkan permutasi dari faktoradik

Pascal

function Permutasi(Untai: STRING; Faktoradik: array of INTEGER): STRING;
 var
   Hasil: STRING;
   i, Indeks: INTEGER;
 begin
   Hasil:=;for i:=Low(Faktoradik) to High(Faktoradik) dobegin
     Indeks:=Faktoradik[i] + 1;       // Indeks ditambah 1 karena indeks array berawal dari 0
     Hasil:=Hasil + Untai[ Indeks ];
     Delete(Untai, Indeks, 1);
   end;
 
   Permutasi:=Hasil;
 end;

Contoh Faktoradik

Semisalnya, 463₁₀ dapat diubah menjadi representasi faktorial oleh divisi-divisi yang berurutan ini:

463 ÷ 1 = 463, sisa 0
463 ÷ 2 = 231, sisanya 1
231 ÷ 3 = 77, sisa 0
77 ÷ 4 = 19, sisanya 1
19 ÷ 5 = 3, sisa 4
3 ÷ 6 = 0, sisanya 3

Misalnya, di sini adalah bagaimana digit dalam faktoradic 4041000_! (sama dengan 2982₁₀) memilih digit dalam (4,0,6,2,1,3,5), permutasi 2982 dari angka 0 hingga 6.

                                 4041000_! → (4,0,6,2,1,3,5)
factoradic:  4          0                        4        1          0          0        0_!
             |          |                        |        |          |          |        |
    (0,1,2,3,4,5,6) -> (0,1,2,3,5,6) -> (1,2,3,5,6) -> (1,2,3,5) -> (1,3,5) -> (3,5) -> (5)
             |          |                        |        |          |          |        |
permutation:(4,         0,                       6,       2,         1,         3,       5)