PINTERpandai
Pinter Pandai

Deret Matematika (Series) Kalkulus Beserta Contoh Soal dan Jawaban

2 min read

Deret Matematika

Deret (matematika)

Deret (bahasa Inggris: series) adalah jumlah dari elemen-elemen (term; jamak: terms) dalam suatu urutan. Urutan dan deret finit (atau terhingga) mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan Urutan dan deret infinit (atau tak terhingga) berlangsung terus menerus tak terbatas.

Dalam matematika, jika ada suatu urutan bilangan infinite { an }, maka suatu deret secara informal adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: a1 + a2 + a3 + · · ·. Ini dapat ditulis lebih singkat menggunakan simbol summation ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots .}

Elemen-elemen dalam suatu deret sering diproduksi menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritme. Mengingat tidak terbatasnya jumlah elemen, hasilnya sering disebut deret tak terhingga (infinite series). Berbeda dengan finite summations, deret tak terhingga membutuhkan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

Sifat dasar deret matematika

Definisi

Untuk setiap urutan{\displaystyle \{a_{n}\}} bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }.

Urutan jumlah parsial{\displaystyle \{S_{k}\}} bersangkutan dengan suatu deret {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} didefinisikan bagi setiap {\displaystyle a_{k}}

{\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.}

Berdasarkan definisi, deret {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}converges menjadi suatu limit {\displaystyle L} jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial {\displaystyle \{S_{k}\}}converges menjadi {\displaystyle L}. Definisi ini biasanya ditulis sebagai

{\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\Leftrightarrow L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}.}

Deret fungsi matematika

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}

converges pointwise pada suatu himpunan E, jika deret itu converges untuk setiap x dalam E sebagai suatu deret ordinari bilangan real atau bilangan kompleks. Ekuivalen dengan itu, jumlah parsial

{\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}

converge menjadi ƒ(x) sebagai N → ∞ untuk setiap x ∈ E.

Deret pangkat matematika

Deret pangkat adalah suatu deret dalam bentuk

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan c. Misalnya, deret

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

adalah deret Taylor {\displaystyle e^{x}} pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap x.

Contoh Soal dan Jawaban Deret Matematika

1. Diketahui untuk n > 1, berlaku \displaystyle S_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\ldots, maka S_2+S_3+S_4+\ldots=\ldots

Jawaban:

Dari tanda “titik tiga (…)” diduga deretnya adalah deret geometri tak hingga, tetapi deret S_2+S_3+S_4+\ldots=\ldots bukan deret geometri. Dengan menguraikan beberapa suku diharapkan dapat ditemukan pola deretnya.

\displaystyle \begin{aligned} &S_2=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots\\ &S_3=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\ldots\\ &S_4=\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\ldots\\ &\vdots\\ &S_2+S_3+S_4+\ldots =\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\ldots\right)+ \left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+\ldots\right)+ \left(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\ldots\right)+\ldots \end{aligned}

Bentuk terakhir menunjukkan bahwa deret yang ditanyakan terdiri dari deret-deret geometri takhingga.

\displaystyle \begin{aligned} S_2+S_3+S_4+\ldots &=\frac{\dfrac{1}{2^2}}{1-\dfrac{1}{2}}+\frac{\dfrac{1}{3^2}}{1-\dfrac{1}{3}}+\frac{\dfrac{1}{4^2}}{1-\dfrac{1}{4}}+\ldots\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\ldots \end{aligned}

Ehmmmm … sayangnya deret terakhir bukan deret geometri takhingga.
Terpaksa menggunakan teknik telescoping series (jarang ditemui disoal latihan sma)

\displaystyle \begin{aligned} S_2+S_3+S_4+\ldots &=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\ldots \\ &=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots \\ &=\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right]+\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right]+\ldots\\ &=1 \end{aligned}

Jadi S_2+S_3+S_4+\ldots=\ldots = 1

Cara Alternatif: :

Jawaban : A

catatan :
Deret Geometri Tak Hingga dengan suku awal a dan rasio r
\boxed{~S_\infty=\frac{a}{1-r}~}

Kesamaan yang digunakan pada deret Teleskoping pada soal ini
\boxed{~\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}~}

2. Urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu. Contohnya adalah 3,5,7,9,11,13, ….. Deret aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

a,a + b,a + 2b , a + 3b, . . .

Dalam hal ini suku ke-n:

an = a + ( n − 1 ) b ,

Jumlah semua suku:

Sn = n/2 ( a + a n ) = n/2 [2a +  (n −1 )b]

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”
Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya | Business & Marketing

Pinter Pandai
«
»

Quiz Tantangan Logika Matematika: Jika 6 + 4 =…

PinterPandai
Okt 14, 2024 58 sec read

Tes matematika logika: Jika 4 + 3 = 27,…

PinterPandai
Okt 9, 2024 1 min read

Nilai Pi 1 juta digit pertama | Analisis dan…

PinterPandai
Mei 8, 2024 1 min read

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *