Vektor (Spasial)

Vektor spasial atau vektor Euclidean; biasa disebut vektor dalam matematika dan fisika adalah objek geometri yang memiliki besar dan arah.

Vektor dalam matematika dan fisika adalah objek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor jika dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai

{\overrightarrow {AB}}.

Vektor berperan penting dalam fisika: posisi, kecepatan dan percepatan objek yang bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.

Panjang Vektor (Spasial)

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}

yang merupakan konsekuensi dari Teorema Pythagoras karena vektor dasar e₁, e₂, e₃ merupakan vektor-vektor satuan ortogonal. Ini sama dengan akar pangkat dua produk titik dari vektor itu sendiri:

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.

Vektor satuan (unit vector)

“Vektor satuan” (unit vector) adalah suatu vektor dengan panjang “satu”. Biasanya vektor satuan hanya digunakan untuk menunjukkan arah. Suatu vektor dengan panjang sembarang dapat dibagi oleh panjang untuk mendapatkan vektor satuan. Ini dikenal sebagai “normalisasi” (normalizing) suatu vektor. Suatu vektor satuan sering diindikasikan dengan sebuah “topi” di atas huruf “a” kecil sebagaimana pada â. Untuk menormalisasi suatu vektor a = [a₁, a₂, a₃], bagilah vektor itu dengan panjangnya ||a||. Jadi:

\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}

Vektor nol (null vector)

“Vektor nol” (null vector atau zero vector) adalah suatu vektor yang panjangnya “nol”. Penulisan dalam koordinat vektor ini adalah (0,0,0), dan biasanya diberi lambang ${\vec {0}}$ , atau 0. Vektor ini berbeda dengan vektor lain, di mana vektor ini tidak dapat dinormalisasi (yaitu, tidak ada vektor satuan yang merupakan kelipatan vektor nol). Jumlah vektor nol dengan vektor apapun a adalah a (yaitu, 0+a=a).

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama.

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi vektor

Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {i} +(ra_{2})\mathbf {j} +(ra_{3})\mathbf {k}

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k. Hasil dari a ditambah b adalah:

\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {i} +(a_{2}+b_{2})\mathbf {j} +(a_{3}+b_{3})\mathbf {k}

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara mengganti tanda + menjadi tanda –

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {\hat {k}}

Operasi Aljabar pada Vektor

Penjumlahan dan penguraangan vektor

Secara geometri penjumlahan vektor $\vec{a} \pm \vec{b} = \vec {c}$ dapat dilakukan dengan dua cara yaitu sebagai berikut

Cara segitiga titik pangkal vektor $\vec{b}$ berimpit ruas dengan titik ujung vektor $\vec{a}$ . Jumlah vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor $\vec{a}$ ke titik ujung vektor $\vec{b}$ . Ruas garis ini diwakili oleh vektor $\vec{c}$ . Sehingga $\vec{a} \pm \vec{b} = \vec {c}$ .
Aturan jajar genjang Titik pangkal vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ harus berimpit. Jika vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ di R² Jika menggunakan pasangan terurut $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂) $\vec{a}$ – $\vec{b}$ = (a₁ – b₁, a₂ – b₂)

Perkalian Vektor

Perkalian skalar dengan vektor Jika k skalar tak nol dan vektor $\vec{a}$ = a₁i + a₂j + a₃k maka vektor k $\vec{a}$ = (ka₁, ka₂, ka₃).
Perkalian skalar dua vektor Jika vektor $\vec{a}$ = a₁i + a₂j + a₃k dan vektor $\vec{b}$ = b₁i + b₂j + b₃k maka $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Perkalian skalar dua vektor jika membentuk sudut Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ vektor tak nol dan sudut α diantara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ . Maka perkalian skalar vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah . = | $\vec{a}$ |.| $\vec{b}$ | cos α

Sifat Operasi Aljabar Pada Vektor

Hubungan Vektor Dengan Vektor Lain

Saling Tegak Lurus

Jika tegak lurus antara vektor $\vec{a}$ dengan vektor $\vec{b}$ maka $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0

Sejajar

Jika vektor $\vec{a}$ sejajar dengan vektor $\vec{b}$ kalau $\vec{a}$ = β $\vec{b}$ dengan syarat β ≠ 0 Jika β > 0 dua vektor tersebut searah Jika β < 0 dua vektor saling berlawanan arah

Sudut Dua Vektor

Jika vector (a₁, a₂, a₃) dan vektor (b₁, b₂, b₃) sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor terbut adalah

Proyeksi vektor

Panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah $\vec{c}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|}$
Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor $\vec{c}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{b}|^2}.\vec{b}$

Perbandingan vektor

Perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua jenis, yaitu:

Titik N membagi PQ di dalam PN : NQ = m : n

Titik N membagi PQ di luar PN : NQ = m : (-n)

Contoh Soal Vektor (spasial) dan Jawaban

1. Temukan besarnya vektor. Tulis jawaban Anda dalam bentuk yang disederhanakan:

Jawaban: 8. Penjelasan: untuk menemukan besarnya vektor, pertama cari titik awalnya di dasar panah dan titik terminalnya di ujung panah. Titik awalnya adalah (0,0) dan titik terminalnya adalah (-8,0). Karena koordinat y dari titik awal (0,0) dan titik terminal (-8,0) sama, vektornya horizontal. Jadi, besarnya adalah nilai absolut dari perbedaan koordinat x, yaitu | -8-0 | = 8.

2. Vektor-vektor u, v, dan w tak nol dan | u | = | v |, Jika | v-w | = | u-w | maka…

A. u.v = | w |

B. $w=\frac{2u+3v}{5}$

C. | u-w | = | v |

D. u – v tegak lurus w E. u + v tegak lurus w

Pembahasan:

Diketahui: | v – w | = | u – w | Kedua sisi di akarkan $\sqrt{(v-w)^2}=\sqrt{(u-w)^2}$ v.v + w.w – 2v.w = u.u + w.w – 2 u.w |v|² + |w|² – 2v.w = |u|² + |w|² – 2u.w

Dari soal diketahui | u | = | v | maka v.w = u.w u.w – v.w = 0 (u.w).w = 0 Karena perkaliannya = 0 maka (u-v) tegak lurus w.

Jawaban: D

3. Diketahui vektor-vektor $\vec{a}$ = (2, 2, z), $\vec{b}$ = (-8, y, -5) , $\vec{c}$ = (x, 4y, 4) dan $\vec{d}$ = (2x, 22, -z, 8). Jika vektor $\vec{a}$ tegak lurus dengan vektor $\vec{b}$ dan vektor $\vec{c}$ sejajar dengan $\vec{d}$ maka (y+z) =

A. -5
B. -1
C. 1
D. 2
E. 5

Pembahasan:

Jawaban: C

4. Jika vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ merupakan ( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ). $\vec{b}$ = 12 , | $\vec{a}$ | = 2 dan | $\vec{b}$ | = 3 maka sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah….

A. 60°
B. 45°
C. 30⁰D. 25⁰E. 20⁰

Pembahasan:

Jawaban: A

5. Misalkan `A(t² + 1, t)` dan `B(1, 2)`, sehingga panjang vektor proyeksi $\overline{OA}$ terhadap $\overline{OB}$ kurang dari $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ , maka nilai `t` yang mungkin adalah…

Jawaban:

Proyeksi vektor $\overline{OA}$ terhadap $\overline{OB}$

$\displaystyle \begin{aligned} \text{proj}_{\overline{OB}}\;\overline{OA}&=\frac{(t^2+1)(1)+(t)(2)}{\sqrt{1^2+2^2}}&<\frac{4}{\sqrt{5}}\\ \frac{t^2+2t+1}{\sqrt{5}}&< \frac{4}{\sqrt{5}}\\ t^2+2t-3&< 0\\ (t+3)(t-1)&< 0\\ \end{aligned}$

Jadi nilai t yang mungkin -3 < t < 1

catatan:
Panjang proyeksi vektor a terhadap b
$\boxed{~proj_b\; \vec{a} = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|}~}$

Jika vektor a = (a₁, a₂, a₃) dan vektor b = (b₁, b₂, b₃)
$\boxed{~\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3~}$

Jika vektor a = (a₁, a₂, a₃) maka panjang vektor a
$\boxed{~\|\vec{a}\|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}~}$

6. Diketahui $\vec{u}=\begin{pmatrix} 3\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 2\\ p\\ 2 \end{pmatrix}$ . Jika proyeksi skalar orthogonal $\vec{u}$ pada arah vektor $\vec{v}$ sama dengan setengah panjang vektor $\vec{v}$ maka nilai p = …

A. -4 atau -2
B. -4 atau 2
C. 4 atau -2
D. 8 atau -1
E. -8 atau 1

Pembahasan:

Jawaban: B

7. Diketahui vektor $\vec{u}$ dan vektor $\vec{v}$ membentuk sudut $\theta$ . Jika panjang proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ sama dengan empat kali panjang $\vec{v}$ , maka perbandingan panjang $\vec{u}$ terhadap panjang $\vec{v}$ adalah…

Jawaban:

$\displaystyle \begin{aligned} |\vec{u}|\cos\theta &= 4|\vec{v}| \\ \frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|} &= \frac{4}{\cos\theta} \end{aligned}$

Jadi perbandingan panjanga vektor $\vec{u}$ terhadap vektor $\vec{v}$ adalah $4 : \cos\theta$

8. Jika u dan v adalah vektor-vektor sehingga ||u|| = 5, ||v|| = 3 dan u . v = -1, maka ||u – v|| = …

Jawaban:

Panjang dari selisih dua vektor

$\displaystyle \begin{aligned} \left\|\vec{u}-\vec{v} \right \|&=\sqrt{\left \|\vec{u}\right\|^2+\left \|\vec{v}\right\|^2-2\left\|\vec{u}\right\|\left\|\vec{v}\right\| \cos\theta}\\ &=\sqrt{\left \|\vec{u}\right\|^2+\left \|\vec{v}\right\|^2-2(\vec{u}\cdot\vec{v})}\\ &=\sqrt{(5)^2+(3)^2-2(-1)}\\ &=6 \end{aligned}$

Jadi ||u – v|| = 6

catatan:
Hasil kali perkalian titik dua vektor u dan v
$\boxed{~\vec{u}\cdot\vec{v}=\left\|\vec{u}\right\|\left\|\vec{v}\right\|\cos\theta~}$

9. Diketahui persegi panjang ABCD dan D titik tengah OA, CD memotong diagonal AB di P. Jika $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ dan $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ , maka $\overrightarrow{OP}$ dapat dinyatakan sebagai…

Jawaban:

Diketahui $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ , $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ dan dari gambar diketahui bahwa $|\overline{BP}| : |\overline{AP}| = 2 : 1$ sehingga

$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{2\cdot\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2 + 1} \\ & = \tfrac{2}{3}\vec{a} + \tfrac{1}{3}\vec{b} \end{aligned}$

$\boxed{\vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{n + m}}$

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

Tentang Matematika

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita! Siapa bilang mau pintar harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

Sumber bacaan: Wikipedia

Rumus Vektor Spasial (Vektor Euklidean) Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya

Vektor (Spasial)

Panjang Vektor (Spasial)

**Vektor satuan (unit vector)**

**Vektor nol (null vector)**

Kesamaan dua vektor

Kesejajaran dua vektor